Stetigkeit von Fkt. 5.Grades < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:04 Sa 26.03.2005 | | Autor: | gr4nd |
Hallo,
ich hab hier eine Übungsaufgabe, deren Lösung mir leider bisher im Verborgenen bleibt:
Zeige, dass die Funktion
[mm]f(x)=x^5+15x^3-15x^2+10x-4[/mm] mit [mm]x\in\IR[/mm]
streng monoton wachsend ist.
Die Berechnung der Nullstellen der 1.Ableitung ist mir leider nicht geglückt, da das Newtonverfahren hierfür keine geeigneten Nullstellen ergibt. Gibt es auch noch ein anderes Kritierium (außer der Funktionsanalytischen herangehensweise) für Monotonie, dass man bei dieser Aufgabe anwenden könnte? Jede Anregung ist willkommen :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo gr4nd!
Dass du Probleme bei der Nullstellenbestimmung in f' bekommst ist nicht verwunderlich, da keine reellen existieren!!! f' ist natürlich auch stetig und muss mindestens einen Extremwert besitzen (gerader Grad).
Um diesen zu ermitteln:
$f''(x)=0 [mm] \gdw 20x^3+90x-30=0 \gdw 2x^3+9x-3=0$
[/mm]
Hier ist dann wieder Newton problemlos anzuwenden:
Es gibt eine Reelle Nullstelle: (0|0,325...)
In f' eingesetzt erhällt man den Tiefpunkt T(0,325|5,06).
( [mm] x_0=0,325 [/mm] kann kein Wendepunkt in f' sein, die es die einzige Nullstelle in f'' ist und eine eine Funktion (f') mit geradem Grad immer einen Extrempunkt hat [und nicht nur einen Wendepunkt]; [mm] x_0 [/mm] kann kein Hochpunkt sein, da der Koeffizient von dem Höchsten Exponenten positiv ist [mm] [f'(x)=5x^4+...])
[/mm]
Gruß Samuel
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