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Stetigkeit von Fkt.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:24 Mi 11.01.2006
Autor: Reaper

Aufgabe
Zeigen Sie :
[mm] \limes_{n\rightarrow0}(sinx/x) [/mm] = 1




So jetzt haben wir in der UE eine andere uns bekannte Form von sinx eingesetzt, nämlich:

[mm] \summe_{k=0}^{ \infty} x^{2k+1}/(2k+1)! [/mm] /x = [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} x^{2k}/(2k+1)! [/mm] + 1 ....bis daher is noch klar....aber dann....

0 <= |  [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} x^{2k}/(2k+1)! [/mm] | <  [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} |x^{2k}| [/mm] = [mm] x^{2} [/mm] *  [mm] \summe_{k=2}^{ \infty} |x^{2k}| [/mm] = (geometrische Reihe) [mm] \limes_{x\rightarrow0} x^{2} [/mm] * [mm] 1/(1-x^2) [/mm] = 0

Haben wir dann etwa den Einschachtelungssatz verwendet? Wir haben das Ganze (Restglied) auf jeden Fall nach oben so abgschätzt dass wir auf eine geometrische Reihe kommen und daraus den Grenzwert berechnen. Die Rechenschritte sind klar. Nur wieso wird die Funktion in Betrag geschrieben? Und am Schluss kommen wir drauf dass die Funktion gegen 0 geht da wir sie durch beide Seiten eingeschachtelt haben oder..und dann is klar dass 1 + Restglied(=0) = 1 ist und somit die Aussage richtig war..darf man da überhaupt den Einschachtelungssatz nehmen bei Funktionen?

mfg,
Hannes

        
Bezug
Stetigkeit von Fkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:48 Mi 11.01.2006
Autor: Stefan

Hallo Reaper!

Ihr habt einfach mittels einer einfachen Abschätzung gezeigt:

[mm] $\left| \frac{\sin(x)}{x} - 1 \right| \to [/mm] 0 [mm] \qquad [/mm] (x [mm] \to [/mm] 0)$,

und das ist genau dann der Fall, wenn

[mm] $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} [/mm] =1$

gilt.

Das siehst du ja sofort, wenn du dir einfach mal die Definition der Konvergenz vergegenwärtigst. Dort muss man ja im zweiten Fall auch

[mm] $\left| \frac{\sin(x)}{x} - 1 \right|$ [/mm]

betrachten.

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
        
Bezug
Stetigkeit von Fkt.: Tippfehler
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:53 Mi 11.01.2006
Autor: Loddar

Hallo Reaper!


Meines Erachtens hat hier mal wieder das Tippfehler-Teufelchen zugeschlagen ;-) ...


Der vorletzte Term muss heißen: $... \ = \ [mm] x^2*\summe_{k=\red{0}}^{\infty}\left|x^{2k}\right| [/mm] \ = \ ...$


Gruß
Loddar


Bezug
        
Bezug
Stetigkeit von Fkt.: l'Hospital
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:07 Mi 11.01.2006
Autor: mathmetzsch

Hallo,

also du kannst alternativ auch der Einfachheit halber die Regeln von de l'Hospital verwenden. Du hast mit

[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{sin(x)}{x} [/mm]

einen Ausdruck der Form [mm] \bruch{0}{0}. [/mm] Es gilt also

[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{sin(x)}{x} [/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{(sin(x))'}{(x)'} [/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{cos(x)}{1} [/mm]
=1

Viele Grüße
Daniel

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