Stetigkeit und Kompakte Räume < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:10 Mi 24.03.2010 | | Autor: | Peon |
| Aufgabe 1 | | Sei [mm] f(x_0) [/mm] = 0 eine stetige Fkt. und [mm] x_0 [/mm] fest. Zeige, dass die Funktion in einer Umgebung auch noch Null ist. |
| Aufgabe 2 | | Nenne den Unterschied zwischen punktweise und gleichmäßiger Stetigkeit. (mit Bildern) |
| Aufgabe 3 | | Nenne ein Beispiel für einen kompakten und nicht kompakten Raum |
| Aufgabe 4 | | Stetigkeit in komapkten Räumen und was folgt aus der Stetigkeit in kompakten Räumen? |
Hallo,
ich hätte ein paar Verständnisfragen zu den Prüfungsprotokollen, die ich gerade durcharbeite. Es kann sein, dass die Fragen manchmal ein bisschen unpräzise sind, weil es sich um Gedächtnisprotokolle handelt:
Zu Aufgabe 1: Da habe ich keine Ahnung, was da überhaupt gemeint ist, vielleicht hat einer eine Idee.
Zu Aufgabe 2: Ich dachte pkt'weise und gibt es nur bei Konvergenz? Oder ist hier mit pkt. weise stetig die übliche Stetigkeitsdefinition gemeint, und mit gleichmäßiger Stetigkeit eben die Definition zu glm. stetig?
Zu Aufgabe 3: Kompakt ist ja äquivalent zu abgeschlossen und beschränkt. Wäre dann also das Intervall [2,3] z.B. ein kompakter Raum? Und [mm] \IR [/mm] wäre nicht kompakt?
Zu Aufgabe 4: Hier geht es mir vor allem darum, ob einer eine Idee hat, was mit dieser "Frage" gemeint sein könnte? Also die Stetigkeit ist ja auch im metrischen Raum definiert, aber in kompakten? Und was soll aus der Stetigkeit in kompakten Räumen folgen? Oder könnte da sowas mit gemeint sein, wie "Seien X,Y metr. Räume und f:X->Y eine stetige Abb. Ist [mm] K\subsetX [/mm] kompakt, so ist auch f(K)->Y kompkat" und "Seien X,Y metr. Räume und sei X kompakt. Dann ist jede stetige Abb. glm. stetig."??
So das war jetzt mal eine kleine Sammlung von fragen. Über Hilfen und Ideen oder Links wäre ich sehr dankbar.
Gruß
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Hallo,
ich kenne Satz 1 in folgender Form:
Sei $ \ f: D [mm] \to \IR [/mm] $ stetig im Punkt $ \ p [mm] \in [/mm] D $ und $ \ f(p) [mm] \not= [/mm] 0 $. Dann ist $ \ f(x) [mm] \not= [/mm] 0 $ für alle $ \ x $ in einer Umgebung von $ \ p $, d.h. es existiert ein $ \ [mm] \delta [/mm] > 0 $, so dass
$ \ f(x) [mm] \not= [/mm] 0 $ für alle $ \ x [mm] \in [/mm] D $ mit $ \ | x-p | < [mm] \delta [/mm] $
Gibt es denn zu $\ f $ noch weitere Infos?
Ich behaupte, dass dein Satz nämlich im Allgemeinen nicht für stetige Funktionen auf einem bel. Intervall $\ I = [a,b] $ gilt.
Ist nämlich $\ f $ auf $\ I $ streng monoton, so gilt der Satz schon nicht mehr.
Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Mi 24.03.2010 | | Autor: | Peon |
Nein leider gibt es keine weiteren Informationen, ist leider nur eine Gedankenmitschirft:
Ich habe den Satz jetzt auch im Buch gefunden, den du ansprichst, allerdigns geht man dort von [mm] f(x)\not=0 [/mm] aus und es ist ja nach f(x)=0 gefragt, oder wolltest du das mit
> ich kenne Satz 1 in folgender Form:
andeuten :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:46 Mi 24.03.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Moin,
wie lautet denn der Satz, den du meinst, im Originallaut aus dem Buch?
Grüße
ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:52 Mi 24.03.2010 | | Autor: | Peon |
Hey,
ich glaube wir reden ein bisschen aneinander vorbei :)
Der Satz aus dem Buch ist derselbe wie der, den du aufgeschrieben hast.
Aber ich meinte, dass im Protokoll (also evtl. auch in der Prüfung) von einer Funktion [mm] f(x_0)=0 [/mm] gesprochen wird. Vielleicht hat sich der Protokollant (das ist der Stundent, der die Prüfung absolviert hat) sich auch verschrieben.
Daher wollte ich wissen, ob die Aussage mit [mm] f(x_0)=0 [/mm] Sinn macht ?
Weißt du was ich meine :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:11 Mi 24.03.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hi Peon,
jetzt steig ich durch 
Ich meine, dass der Satz im Allgemeinen einfach nicht stimmt. Wie gesagt, gilt er für alle streng monotonen Funktionen auf $\ I = [a,b] $ schon nicht mehr.
Sei $\ f $ streng monoton mit $\ f(x) < f(x') $ für $\ x, x' [mm] \in [/mm] I $ und $\ x < x' $
Sei $\ [mm] \varepsilon [/mm] > 0 $.
Dann gilt nach Voraussetzung $\ [mm] x-\varepsilon [/mm] < x < x + [mm] \varepsilon [/mm] $ und folglich $\ [mm] f(x-\varepsilon) [/mm] < f(x) < [mm] f(x+\varepsilon) [/mm] $
Für $\ x = [mm] x_0 [/mm] $ gilt dann aber $\ [mm] f(x_0-\varepsilon) [/mm] < [mm] f(x_0) [/mm] < [mm] f(x_0+\varepsilon) \gdw f(x_0-\varepsilon) [/mm] < 0 < [mm] f(x_0+\varepsilon) [/mm] $
Und das widerspricht deinem Satz 1.
Grüße
ChopSuey
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:21 Mi 24.03.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Nein leider gibt es keine weiteren Informationen, ist
> leider nur eine Gedankenmitschirft:
> Ich habe den Satz jetzt auch im Buch gefunden, den du
> ansprichst, allerdigns geht man dort von [mm]f(x)\not=0[/mm] aus und
> es ist ja nach f(x)=0 gefragt, oder wolltest du das mit
>
> > ich kenne Satz 1 in folgender Form:
>
> andeuten :)
>
Du brauchst gar keine komplizierten Konstruktionen. Es gilt doch offensichtlich nichtmal für die einfachsten Funktionen:
f(x)=x
[mm] $x_0=0$
[/mm]
Logischerweise ist [mm] $f(x)\neq [/mm] 0$ [mm] $\forall x\neq [/mm] 0$.
Vielleicht war es ein Test.
ciao
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:10 Do 25.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]f(x_0)[/mm] = 0 eine stetige Fkt. und [mm]x_0[/mm] fest. Zeige, dass
> die Funktion in einer Umgebung auch noch Null ist.
> Nenne den Unterschied zwischen punktweise und
> gleichmäßiger Stetigkeit. (mit Bildern)
> Nenne ein Beispiel für einen kompakten und nicht
> kompakten Raum
> Stetigkeit in komapkten Räumen und was folgt aus der
> Stetigkeit in kompakten Räumen?
> Hallo,
>
> ich hätte ein paar Verständnisfragen zu den
> Prüfungsprotokollen, die ich gerade durcharbeite. Es kann
> sein, dass die Fragen manchmal ein bisschen unpräzise
> sind, weil es sich um Gedächtnisprotokolle handelt:
>
> Zu Aufgabe 1: Da habe ich keine Ahnung, was da überhaupt
> gemeint ist, vielleicht hat einer eine Idee.
Es wurde ja schon gesagt: die Aussage ist völliger Blödsinn
>
> Zu Aufgabe 2: Ich dachte pkt'weise und gibt es nur bei
> Konvergenz? Oder ist hier mit pkt. weise stetig die
> übliche Stetigkeitsdefinition gemeint,
Ja
> und mit
> gleichmäßiger Stetigkeit eben die Definition zu glm.
> stetig?
Ja
>
> Zu Aufgabe 3: Kompakt ist ja äquivalent zu abgeschlossen
> und beschränkt.
Vorsicht ! obige Äquivalenz ist in unendlichdim. normierten Räumen falsch !
Bsp.: X = C[a,b] mit der Norm $||f||:= max [mm] \{ |f(x)|: x \in [a,b] \}$
[/mm]
$K:= [mm] \{f \in X: ||f|| \le 1 \}$ [/mm] ist beschränt und abgeschlossen, aber nicht kompakt
> Wäre dann also das Intervall [2,3] z.B.
> ein kompakter Raum? Und [mm]\IR[/mm] wäre nicht kompakt?
Ja
>
> Zu Aufgabe 4: Hier geht es mir vor allem darum, ob einer
> eine Idee hat, was mit dieser "Frage" gemeint sein könnte?
> Also die Stetigkeit ist ja auch im metrischen Raum
> definiert, aber in kompakten? Und was soll aus der
> Stetigkeit in kompakten Räumen folgen?
> Oder könnte da
> sowas mit gemeint sein, wie "Seien X,Y metr. Räume und
> f:X->Y eine stetige Abb. Ist [mm]K\subsetX[/mm] kompakt, so ist auch
> f(K)->Y kompkat" und "Seien X,Y metr. Räume und sei X
> kompakt. Dann ist jede stetige Abb. glm. stetig."??
Ja, ich denke das wollte der Prüfer hören
FRED
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> So das war jetzt mal eine kleine Sammlung von fragen. Über
> Hilfen und Ideen oder Links wäre ich sehr dankbar.
>
> Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:16 Do 25.03.2010 | | Autor: | Peon |
Danke, ich denke dann kann ich das jetzt besser einordnen.
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