Stetigkeit und Differenzierbk. < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:28 So 05.02.2006 | | Autor: | Molch |
| Aufgabe | Seien a,b,c,d [mm] \in \IR [/mm] und
[mm] f(x):=f(n)=\begin{cases} 1+2x, & \mbox{für } x<0 \\ \bruch{1+2x}{1+cx}, & \mbox{für } x \in [0,1] \\ 2+d(x-1), & \mbox{für } x>1 \end{cases}
[/mm]
Welche Bedingungen sind zu stellen, damit f stetig ist und welche, damit f differenzierbar ist. |
Hallo!
Ich habe eine Frage zu der obenangehängten Aufgabenstellung.
Stetig bedeutet ja, dass der links- und rechtsseitige Grenzwert übereinstimmen, sowie die Funktion an der Stelle definiert ist.
Der linksseitige Grenzwert von 1+2x gegen 0 ist 1, das bedeutet, dass der rechtsseitige Grenzwert von [mm] \bruch{a+bx}{1+cx}=1=\bruch{a+0b}{1+c*0} [/mm] sein muss. Dies ist nur der Fall, wenn a=1 ist: [mm] \bruch{1+0}{1+0}=1.
[/mm]
Nun muss jedoch auch noch der rechtsseitige Grenzwert gegen 1 von 2+d(x-1) mit dem linksseitigen Grenzwert bzw. dem Funktionswert von [mm] \bruch{a+bx}{1+cx} [/mm] an der Stelle x=1 übereinstimmen.
Also ergibt sich:
[mm] \bruch{1+b}{1+c}=2+d(1-1)=2
[/mm]
Woraus folgt:
b=1+2c
Mit der Gesamtlösung:
a=1, b=1+2c, c= beliebig, d= beliebig
Wenn nun die Parameter so gewählt werden sollen, dass die Funktion differenzierbar ist, müssen nicht nur die Grenzwerte an den problematischen Stellen gleich sein, sondern auch die Ableitung an besagten Stellen exisitieren.
Also lautet mein Ansatz:
Die Ableitung von [mm] \bruch{a+bx}{1+cx} [/mm] an der Stelle x=0 muss gleich 2 sein, an der Stelle x=1 muss sie gleich d sein.
[mm] \bruch{\bruch{a+bx}{1+cx}}{dx}=\bruch{b-ac}{(1+cx)^{2}}
[/mm]
Was mit x=0 zu b=2+ac führt.
Mit x=1 jedoch zu [mm] 2c^{2}+c(4+a)+2-b=0.
[/mm]
Wo liegt mein Fehler und stimmt meine Herangehensweise überhaupt?
Ich wäre für jeden Ratschlag sehr dankbar!
Gruß, Molch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:52 So 05.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Molch!
Wie lautet denn der Funktionsterm für das mittlere Intervall? Sind da bereits einige Koeffizienten vorgegeben? Das ist in Deiner Lösung etwas widersprüchlich zur Aufgabenstellung!
Deine Rechnung zur Stetigkeit ist richtig!
Für die Differenzierbarkeit muss der jeweilige Differenzenquotient existieren und mit dem anderen Grenzwert (also rechtsseitig oder linksseitig) übereinstimmen.
Nehmen wir die Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ :
[mm] $\limes_{x_0\rightarrow 0+}\bruch{f(x_0)-f(0)}{x_0-0} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x_0\rightarrow 0+}\bruch{\bruch{a+b*x_0}{1+c*x_0}-a}{x_0} [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] \bruch{b-a*c}{1} [/mm] \ = \ b-a*c \ = \ [mm] \red{2}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:02 So 05.02.2006 | | Autor: | Molch |
Achso, so klappt es natürlich einwandfrei!
Vielen Dank!
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