Stetigkeit und Differenzierbarkeit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:55 Di 31.08.2004 | | Autor: | insel |
Hallo ihr Lieben,
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Ich übe gerade für eine Prüfung und versuche diverse Aufgaben zu lösen. Unter anderem ist das Themengebiet der Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Funktionen prüfungsrelevant. Hinsichtlich der allgemeinen Untersuchung dieser zwei Aspekte habe ich eigentlich keine Probleme, nur in der Ausführung dieser bin ich auf ein Problem gestossen:
Wie bestimme ich den Grenzwert bzw. die Ableitung bei Betragsfunktionen?
Muss ich hier eine Fallunterscheidung vornehmen?
Ich versuche gerade folgendes Beispiel zu lösen:
[mm] f(x)=\left\{\begin{matrix}
x^2 + \bruch{ \left| x+1 \right|}{x+1}
, & \mbox{für }x\mbox{ = -1} \\
2, & \mbox{für}x\mbox{ = -1}
\end{matrix}\right. [/mm]
Man soll die Stetigkeit der Funktion in x0 = -1 untersuchen und überprüfen, ob die Funktion in x0 = -1 differenzierbar ist.
Ich würde mich wirklich freun, wenn mir da jemand auf die Sprünge helfen kann! Tausend Dank schonmal.
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Als Merkregeln lernt man doch in der Schule "stetig, wenn man die Kurve zeichnen kann, ohne mit dem Stift abzusetzen" und "diff'bar, wenn's keine Knicke gibt". Und diff'bar geht nur, wenn die Funktion auch stetig ist.
Das kann man dann mathematisch so realisieren: wir haben hier einen kritischen Punkt: [mm] x_0=-1
[/mm]
Eigentlich besteht die Funktion aus 3 Teilen: links von x=-1 , x=-1 selber und rechts von x=-1.
Bei x=-1 hat die Funktion den konstanten Wert 2. Also überprüft man, ob der Funktionswert -> 2 geht, wenn man sich von links und von rechts dieser kritischen Stelle nähert.
Jetzt der Betrag: ist hier ganz leicht wegzubekommen. Wenn das Argument (unter den Betragsstrichen) negativ ist, dann verschwinden die Betragsstriche nicht einfach, sondern setzen das Argument in Klammern, und noch ein Minus davor.
Also hier: für x<-1 ist doch x+1 negativ, also gilt für x<-1 : |x+1| = -(x+1)
Ist das Argument positiv, dann verschwinden die Betragsstriche einfach.
Hier: da für x>-1 der Ausdruck x+1 positiv ist, gilt für x>-1 : |x+1| = x+1
Mit diesen Vereinfachungen kannst du die Funktion umschreiben (ohne Beträge, dafür in 3 Teilfunktionen aufgeteilt). Und dann an den beiden "Nahtstellen" (bei Ännäherung an [mm] x_0 [/mm] von links und von rechts) schauen, ob auch die Funktionswerte 'ineinander übergehen'.
Das "kein-Knick"-Kriterium für Differenzierbarkeit lautet, in eine etwas mathematischere Sprache übersetzt, "die Steigungen müssen an den kritischen Punkten ineinander übergehen". Also dürfen die Steigungen keinen Sprung machen, wenn sie die kritische(n) Stelle(n) passieren.
Hoffentlich reichen diese Tipps, um wenigstens ein paar Schritte weiterzukommen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:01 Mi 01.09.2004 | | Autor: | insel |
Danke danke e.kandrai,
mir ging ein Licht auf und dann war mir wieder alles klar.
Noch ein Lob für die gute Art der Erklärung und die schnelle Beantwortung meiner Frage.
Liebe Grüße Insel
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