Stetigkeit und Differenzierb. < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei eine Funktion f: [mm] \IR\to\IR:f(x)x^{2}e^{-|x-5|}.
[/mm]
(a) Für welche Werte [mm] x\in\IR [/mm] ist die Funktion f stetig, für welche differenzierbar?
(b) Wie lauten Abbildungsvorschrift und Definitionsmenge von f ' ?
(c) An welchen Stellen [mm] x\in\IR [/mm] ist die Funktion [mm] g(x)=(x-5)^{2}*e^{-|x-5|} [/mm] differenzierbar? |
(a) wann ist eine funktion stetig? ich hab zwar was gelesen, aber nicht ganz verstanden?
Die Funktion ist doch für [mm] x\in\IR [/mm] differenzierbar oder?
(b) was ist eine abbildungsvorschrift?
(c) ???
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> Gegeben sei eine Funktion f:
> [mm]\IR\to\IR:f(x)=x^{2}e^{-|x-5|}.[/mm]
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> (a) Für welche Werte [mm]x\in\IR[/mm] ist die Funktion f stetig,
> für welche differenzierbar?
>
> (b) Wie lauten Abbildungsvorschrift und Definitionsmenge
> von f ' ?
>
> (c) An welchen Stellen [mm]x\in\IR[/mm] ist die Funktion
> [mm]g(x)=(x-5)^{2}*e^{-|x-5|}[/mm] differenzierbar?
> (a) wann ist eine funktion stetig? ich hab zwar was
> gelesen, aber nicht ganz verstanden?
Hallo,
zunächst mal wäre es sehr hilfreich, würdest Du in Dein Profil etwas eintragen, dann wüßte man nämlich, auf welchem Niveau eine Antwort benötigt wird.
Dann wäre es natürlich nützlich, würdest Du uns sagen, was Du zur Stetigkeit gelesen und nicht verstanden hast. Anders können wir je schlecht darauf eingehen.
Bei dieser Aufgabe hier kann man verwenden, daß die Komposition stetiger Funktionen stetig ist, denn die Funktion f ist ja ausschließlich aus stetigen Funktionen zusammengesetzt.
> Die Funktion ist doch für [mm]x\in\IR[/mm] differenzierbar oder?
Vielleicht, vielleicht auch nicht...
Sowas löst man ja nicht durch raten
Ich würd mir die Funktion jetzt erstmal abschnittweise aufschreiben, so, daß der Betrag weg ist:
[mm] f(x)=\begin{cases} x^{2}e^{-(x-5)}, & \mbox{für } x\ge 5\\ ..., & \mbox{für } ... \end{cases}
[/mm]
Wenn Du hier nun das verwendest, was Du über die Komposition diffbarer Funktionen gelernt hast, dann siehst Du, daß es nur eine Stelle gibt, an welcher die Differenzierbarkeit in Frage steht. Welche ist das?
Diese Stelle ist dann genauer zu untersuchen.
> (b) was ist eine abbildungsvorschrift?
Sowas:
f'(x):= ...
Du sollst hier die Ableitung angeben.
Gruß v. Angela
> (c) ???
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Hallo,
ich habe jetzt nun folgendes heraus:
[mm] f(x)=\begin{cases} x^{2}e^{-(x-5)}, & \mbox{für } x\ge 5\\ x^{2}e^{-(x-5)}, & \mbox{für } x<5 \end{cases}
[/mm]
ich weiß aber wirklich nicht, welche stetig sein soll. ich würde aber sagen, dass beide differenzierbar sind, weil man beide ableiten kann:
[mm] f(x)=x^{2}e^{-(x-5)}
[/mm]
f ' [mm] (x)=2xe^{-(x-5)}+x^{2}(-e^{-(x-5)})
[/mm]
ist differenzierbar=stetig?
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> Hallo,
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> ich habe jetzt nun folgendes heraus:
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} x^{2}e^{-(x-5)}, & \mbox{für } x\ge 5\\ x^{2}e^{-(x-5)}, & \mbox{für } x<5 \end{cases}[/mm]
hier im 2. fall ist der betrag aber falsch aufgelöst, um nicht direkt zu sagen: da steht ja 2 mal dasselbe?!
>
> ich weiß aber wirklich nicht, welche stetig sein soll.
angela hat doch schon gesagt, zitat:
"Bei dieser Aufgabe hier kann man verwenden, daß die Komposition stetiger Funktionen stetig ist, denn die Funktion f ist ja ausschließlich aus stetigen Funktionen zusammengesetzt."
somit ist die einzig fragwürdige stelle nur noch x=5, und da schaut man in beiden funktionen nach, was die da für nen funktionswert haben
> ich
> würde aber sagen, dass beide differenzierbar sind, weil
> man beide ableiten kann:
beide funktionen einzeln kann man ableiten (wobei du 2 unterschiedliche ableitungen bekommst, wenn du die fälle für den betrag richtig machst), aber die stelle x=5 ist hier wieder kritisch
die überprüfst du dann mit links und rechtsseitigem grenzwert der ableitung an der stelle x=5. ist diese gleich, ist sie auf ganz R stetig und diffbar
>
> [mm]f(x)=x^{2}e^{-(x-5)}[/mm]
> f ' [mm](x)=2xe^{-(x-5)}+x^{2}(-e^{-(x-5)})[/mm]
>
> ist differenzierbar=stetig?
nein
gruß tee
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Du meinst glaub ich:
> [mm]f(x)=\begin{cases} x^{2}e^{-(x-5)}, & \mbox{für } x\ge 5\\ x^{2}e^{(x-5)}, & \mbox{für } x<5 \end{cases}[/mm]
>
>
> [mm]f(x)=x^{2}e^{-(x-5)}[/mm]
> f ' [mm](x)=2xe^{-(x-5)}+x^{2}(-e^{-(x-5)})[/mm]
>
> ist differenzierbar=stetig?
Nein, aus Differenzierbarkeit folgt Stetigkeit aber nicht umgekehrt. Die Betragsfunktion |x| ist stetig aber nicht differnzierbar im Punkt 0. Mal sie dir mal auf.
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