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| Aufgabe | Untersuchen Sie: Für welche n [mm] \in \IN [/mm] ist die Funktion $f [mm] :\IR \to \IR$ [/mm] mit
$x [mm] \mapsto f(x)=\begin{cases} x^{n}*sin(\bruch{1}{x}), & \mbox{für } n \not= \mbox{ 0} \\ 0, & \mbox{für } x = \mbox{ 0} \end{cases}$
[/mm]
(a) stetig auf [mm] \IR
[/mm]
(b) differenzierbar auf [mm] \IR [/mm] |
Guten Abend,
das ist meine Lösung zu der Aufgabe
(a)
Hier nehme ich das Folgenkriterium zur Hilfe und sage:
Sei [mm] a_{k} [/mm] eine Folge mit [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} a_{k} [/mm] = 0 (weil mich ja nur die Stelle [mm] x_{0}=0 [/mm] interessiert)
Sei nun n>0
[mm] $\Rightarrow \limes_{k\rightarrow\infty} (a_{k}^{n}*sin(\bruch{1}{a_{k}})) [/mm] = 0$, da [mm] $a_{k}^{n}$ [/mm] für ein festes n>0 ja trotzdem gegen 0 konvergiert und [mm] $sin(\bruch{1}{a_{k}})$ [/mm] ja "nur" Werte aus dem Intervall [-1;1] annimmt.
[mm] \Rightarrow [/mm] Für n>0 ex. ein GW, also ist f(x) an de Stelle $ [mm] x_{0}=0$ [/mm] stetig.
Sei nun n=0
[mm] $\Rightarrow \limes_{k\rightarrow\infty} (a_{k}^{0}*sin(\bruch{1}{a_{k}})) [/mm] = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} (1*sin(\bruch{1}{a_{k}})) [/mm] =$ ...ich weiß nicht genau, wie ich das schreiben soll, aber wie oben schon beschrieben, oszilliert der Wert zwischen "-1" und "+1".
[mm] \Rightarrow \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] f(x) besitzt keinen (festen) GW an der Stelle [mm] $x_{0} [/mm] = 0$, also ist f(x) für n=0 nicht stetig.
(b)
Damit eine Funktion diffbar ist, muss es einen GW an jeder Stelle der Funktion geben, die Funktion muss also stetig sein.
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x) ist nur diffbar für n>0.
Ist das so richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:35 Di 18.01.2011 | | Autor: | pelzig |
Wie du richtig gesehen hast, ist es gut hier mit Folgenstetigkeit zu argumentieren. Für [mm]n>0[/mm] und [mm]a_k\to 0[/mm] ist [mm]f(a_k)=a_k^n\sin(1/a_k)[/mm] das Produkt einer Nullfolge und einer beschränkten Folge, also eine Nullfolge. Daher [mm]\lim_{k\to\infty}f(a_k)=0=f(0)[/mm] für jede Nullfolge [mm]a_k[/mm]. Im Falle [mm]n=0[/mm] solltest du vielleicht zwei Nullfolgen [mm]a_k[/mm] und [mm]b_k[/mm] angeben mit [mm]\lim_{k\to\infty}f(a_k)\ne\lim_{k\to\infty}f(b_k)[/mm], dann ist die Stetigkeit im Punkt [mm]0[/mm] widerlegt. Nur mal so zum Test: warum ist [mm]f[/mm] in den Punkten [mm]x_0\ne0[/mm] stetig?
Bei der b) hast du schon richtig gesehen, dass [mm]f[/mm] für [mm]n=0[/mm] nicht diffbar sein kann, weil nicht stetig. Du musst aber noch zeigen, dass es für [mm]n>0[/mm] auch diffbar ist. Für [mm]n=1[/mm] ist die Ableitung von [mm]f[/mm] übrigens auch nicht stetig...
Gruß, Robert
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:39 Mi 19.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend: für n=1 ist f in 0 nicht differenzierbar
FRED
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