Stetigkeit nachweisen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:32 Sa 19.02.2011 | | Autor: | Balsam |
| Aufgabe | [mm] f(x)=\begin{cases} x+x^{2}cos(1/x), & \mbox{für } x\not= 0 \\ 0, & \mbox{} \mbox{für } x=0 \end{cases}
[/mm]
Ich muss die Stetigkeit und die Differenzierbarkeit von f bei [mm] x_{0}=0 [/mm] nachweisen. |
Wie muss ich vorgehen?
ich würde jetzt die 0 nicht in die 1.Teilfunktion setzen.
Aber das darf man ja nicht, da [mm] x\not= [/mm] 0 .
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> [mm]f(x)=\begin{cases} x+x^{2}cos(1/x), & \mbox{für } x\not= 0 \\ 0, & \mbox{} \mbox{für } x=0 \end{cases}[/mm]
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> Ich muss die Stetigkeit und die Differenzierbarkeit von f
> bei [mm]x_{0}=0[/mm] nachweisen.
>
> Wie muss ich vorgehen?
Zeige jeweils, dass rechts- und linksseitiger Grenzwert in 0 der Funktion (für Stetigkeit) und des Differentialquotienten (für Diffbarkeit) gleich sind.
z. B. [mm] $\lim_{x\to0+}\left(x+x^{2}cos(1/x)\right)=0$, [/mm] da [mm] $x^2$, [/mm] $x$ gegen Null gehen und cos beschränkt ist durch 1.
Gruß
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Hallo Balsam,
nur eine kleine Ergänzung:
hier kannst du das direkt auf einen Schlag erledigen:
Es ist für [mm]x\neq 0[/mm] doch
[mm]0\le|f(x)|=\left|x+x^2\cos(1/x)\right|\underbrace{\le}_{\triangle-Ungl.} |x|+x^2\left|\cos(1/x)\right|\le |x|+x^2[/mm]
Mit dem Sanwichlemma folgt für [mm]x\to 0[/mm] die Stetigkeit von f in [mm]x_0=0[/mm]
Gruß
schachuzipus
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