Stetigkeit mit Nullfolgen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:55 Di 26.04.2005 | | Autor: | ilse |
Hallo,
Ich stitz grad vor meinem Matheblatt und bin mir nicht ganz sicher ob ich die richtige Lösung für folgende Aufgabe habe:
[mm] f(x,y)=\begin{cases} xy \bruch{ x^{2}-y^{2}}{ x^{2}+y^{2}}, & \mbox(x,y) \not=(0,0) \\ 0, & \mbox(x,y) = (0,0) \end{cases}
[/mm]
nun soll ich Stetigkeit in (0,0) zeigen oder wiederlegen, und zwar mit Nullfolgen. Nun hab ich schon einige Folgen ausprobiert und bin dann zu dem Entschluss gekommen, dass f in (0,0) stetig sein müsste da ich aufgrund der höheren Potenz im Zähler der Funktion keine geeigneten Nullfolgen finden kann, die Stetigkeit wiederlegen würden.
Liege ich mit meiner Vermutung richtig? wäre nett wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Christine
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:20 Di 26.04.2005 | | Autor: | moudi |
> Hallo,
Hallo Christine
>
> Ich stitz grad vor meinem Matheblatt und bin mir nicht ganz
> sicher ob ich die richtige Lösung für folgende Aufgabe
> habe:
>
> [mm]f(x,y)=\begin{cases} xy \bruch{ x^{2}-y^{2}}{ x^{2}+y^{2}}, & \mbox(x,y) \not=(0,0) \\ 0, & \mbox(x,y) = (0,0) \end{cases}[/mm]
>
> nun soll ich Stetigkeit in (0,0) zeigen oder wiederlegen,
> und zwar mit Nullfolgen. Nun hab ich schon einige Folgen
> ausprobiert und bin dann zu dem Entschluss gekommen, dass f
> in (0,0) stetig sein müsste da ich aufgrund der höheren
> Potenz im Zähler der Funktion keine geeigneten Nullfolgen
> finden kann, die Stetigkeit wiederlegen würden.
>
> Liege ich mit meiner Vermutung richtig? wäre nett wenn mir
> jemand weiterhelfen könnte.
Ja die Funktion ist stetig in (0,0) und deine Argumentation ist richtig.
Formal würde ich so argumentieren. Wenn (x,y) in der Nähe von (0,0) liegt, z.B. hat der Punkt den Abstand [mm] $\epsilon$ [/mm] von (0,0), dann gilt also [mm] $x^2+y^2=\epsilon^2$ [/mm] und man kann die grössen [mm] $x^2-y^2$ [/mm] $x$ und $y$ abschätzen.
Es gelten [mm] $|x^2-y^2|\leq x^2+y^2=\epsilon^2$ [/mm] und [mm] $|x|\leq \sqrt{x^2+y^2}=\epsilon$ [/mm] und analog [mm] $|y|\leq\epsilon$.
[/mm]
Damit ergibt sich [mm] $|f(x,y)|\leq\epsilon^2\frac{\epsilon^2}{\epsilon^2}$ [/mm] und das geht gegen 0, wenn [mm] $\epsilon$ [/mm] gegen 0 geht.
mfG Moudi
>
> Christine
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:34 Mi 27.04.2005 | | Autor: | ilse |
alles klar!
|
|
|
|
