Stetigkeit in (0,0) < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:27 Sa 07.07.2012 | | Autor: | thadod |
Sehr geehrter Matheraum... Leider tu´ich mich immer ein wenig schwer mit den Stetigkeiten von Funktionen... Ich habe deshalb leider eine kleiner Frage zu folgender Aufgabe:
f: [mm] \IR^2 \rightarrow \IR [/mm] , [mm] f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^2 y^2}{x^2 + y^2}, & \mbox{} (x,y) \not=(0,0) \mbox{} \\ 0, & \mbox{} (x,y) =(0,0) \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Ich hatte nun folgende Idee...
für (x,y) [mm] \not= [/mm] (0,0) ist die Funktion stetig als komposition stetiger Funktionen, da der Nenner von Null verschieden ist.
für (x,y)=(0,0) wollte ich nun folgendes Zeigen:
[mm] |f(x,y)|=|\bruch{x^2}{x^2+y^2}| \cdot |y^2|=\bruch{x^2}{x^2+y^2} \cdot |y^2|
[/mm]
es gilt ja nun: [mm] \bruch{x^2}{x^2+y^2} \le [/mm] 1 [mm] \le |y^2|
[/mm]
Darf ich überhaupt so vorgehen? Und wie zeige ich nun in einem letzten Schritt, dass das gegen 0 geht, damit die Funktion stetig ist???
Danke schonmal für die Hilfe. MFG thadod
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:14 Sa 07.07.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Sieht gut aus. Ok, du weißt nun, dass [mm] |f(x,y)|\le |y^2| [/mm] ist. Sei nun [mm] (x_n, y_n) [/mm] eine Folge, die gegen (0,0) geht. Dann gilt doch
$0 [mm] \le \limes_{n\rightarrow\infty}|f(x_n,y_n)| \le \limes_{n\rightarrow\infty} y_n^2 [/mm] =0$.
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