Stetigkeit in 0 < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:37 Di 31.05.2011 | | Autor: | hilbert |
Es geht um folgende Funktion
f(x,y) = [mm] \bruch{y^2*(y^4-x^2)}{(x^2+y^4)^2} [/mm] für (x,y) [mm] \not= [/mm] (0,0) und f(x,y) = (0,0) für (x,y) = (0,0)
Ich denke diese Funktion ist unstetig in 0, denn wir hatten so eine ähnliche Funktion bereits.
Wenn ich mich auf der x-Achse der 0 nähere, bekomme ich als Grenzwert auf jeden Fall die 0.
Jetzt brauche ich noch einen anderen Weg mich der 0 zu nähern, auf welchem ich einen anderen Grenzwert bekomme.
Meine Idee war jetzt so etwas wie [mm] \vektor{2t \\ \sqrt{t}} [/mm] für t gegen 0.
dann komme ich auf:
[mm] \bruch{t*(t^2-4t^2)}{(4t^2+t^2)^2} [/mm] = [mm] \bruch{-3}{25t} [/mm] und hier stimmen rechtsseitiger und linksseitiger limes nicht überein.
Heißt das schon, dass diese Funktion unstetig in (0,0) ist?
Vielen Dank im Voraus.
|
|
| |
|
Hallo hilbert,
noch einfacher...
> f(x,y) = [mm]\bruch{y^2*(y^4-x^2)}{(x^2+y^4)^2}[/mm] für (x,y) [mm]\not=[/mm] (0,0) und
> f(x,y) = (0,0) für (x,y) = (0,0)
Du meinst f(0,0)=0
> Ich denke diese Funktion ist unstetig in 0, denn wir hatten
> so eine ähnliche Funktion bereits.
>
> Wenn ich mich auf der x-Achse der 0 nähere, bekomme ich
> als Grenzwert auf jeden Fall die 0.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Jetzt brauche ich noch einen anderen Weg mich der 0 zu
> nähern, auf welchem ich einen anderen Grenzwert bekomme.
>
> Meine Idee war jetzt so etwas wie [mm]\vektor{t \\
2\sqrt{t}}[/mm]
> für t gegen 0.
> Leider gehts nicht ganz auf.
>
> Ich muss doch versuchen einen Quotienten hinzukriegen,
> indem ich kürzen kann, sodass ich auf ein anderes Ergebnis
> als 0 komme, oder?
Versuch doch einfach mal, Dich auf der y-Achse zu nähern. 
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:52 Di 31.05.2011 | | Autor: | hilbert |
Wenn ich mich auf der y Achse nähere komme ich doch auf [mm] \bruch{1}{y^2}.
[/mm]
Das ist jeweils [mm] +\infty [/mm] für y gegen 0.
Reicht das schon, dass ich für die x-Achse 0 raus bekomme und für die y-Achse [mm] +\infty [/mm] ?
|
|
|
| |
|
Hallo hilbert,
> Wenn ich mich auf der y Achse nähere komme ich doch auf
> [mm]\bruch{1}{y^2}.[/mm]
> Das ist jeweils [mm]+\infty[/mm] für y gegen 0.
>
> Reicht das schon, dass ich für die x-Achse 0 raus bekomme
> und für die y-Achse [mm]+\infty[/mm] ?
Was meinst du mit bei der x- Achse Null rausbekommen?
Klar gestellt:
Es gilt etwa für die Folge [mm] a_n=(0, [/mm] 1/n) mit [mm] a_n\to(0,0),n\to\infty, [/mm] dass [mm] f(a_n)=\frac{1}{1/n^2}=n^2\to\infty, n\to\infty. [/mm] Der 'Grenzwert' von [mm] f(a_n) [/mm] stimmt also nicht mit dem Funktionswert f(0,0)=0 überein.
Also ist die Funktion in (0,0) nicht stetig.
Übrigens, wenn du bei dem von dir anfangs angebenen $ [mm] \vektor{t \\ 2\sqrt{t}} [/mm] $ den Parameter t gegen 0 laufen lässt, erhältst du ebenfalls ein (etwas komplizierteres) Gegenbeispiel.
LG
|
|
|
|
