Stetigkeit f(x) = Wurzel x < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:17 So 01.08.2010 | | Autor: | fabian.j |
| Aufgabe | | Zeigen Sie die Stetigkeit von [mm] f(x)=\wurzel{x}, f:\IR+\to\IR [/mm] |
Hallo,
macht man das dann so:
Sei [mm] \varepsilon [/mm] beliebig.Sei ausserdem [mm] \delta [/mm] = [mm] \wurzel x_{0} [/mm] * [mm] \varepsilon [/mm] , dann gilt:
| f(x) - [mm] f(x_{0}) [/mm] | = [mm] |\wurzel [/mm] x - [mm] \wurzel x_{0} [/mm] | = [mm] |\bruch{x - x_{0}}{\wurzel x + \wurzel x_{0}}| [/mm] < | [mm] \bruch{\delta}{\wurzel x + \wurzel x_{0}} [/mm] | < | [mm] \bruch{\delta}{\wurzel x_{0}} [/mm] | [mm] \le \varepsilon
[/mm]
Wobei ich das, was ich im ersten Satz beim [mm] \delta [/mm] eingetragen hab (blau) eigentlich erst am ende weiß.
Und wie müsste ich die gleichmässige Stetigkeit zeigen, da darf [mm] \varepsilon [/mm] doch nicht mehr von [mm] x_{0} [/mm] bzw nur noch von [mm] \delta [/mm] abhängen, oder?
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Huhu,
> Wobei ich das, was ich im ersten Satz beim [mm]\delta[/mm]
> eingetragen hab (blau) eigentlich erst am ende weiß.
Korrekt. Man guckt sich erst an, wie man was durch [mm] \delta [/mm] abschätzen kann und wählt dann [mm] \delta [/mm] geeignet.
Wobei dein Beweis allerdings nur für [mm] $x_0 \not= [/mm] 0$ gilt, aber das sollte kein Problem darstellen 
> Und wie müsste ich die gleichmässige Stetigkeit zeigen,
> da darf [mm]\varepsilon[/mm] doch nicht mehr von [mm]x_{0}[/mm] bzw nur noch
> von [mm]\delta[/mm] abhängen, oder?
Umgekehrt: Deine Wahl von [mm] \delta [/mm] darf nicht von [mm] x_0 [/mm] abhängen, sondern nur von [mm] \varepsilon.
[/mm]
Das [mm] \varepsilon [/mm] wird dir ja "gegeben" und du musst ein [mm] \delta [/mm] finden, so dass $|f(x) - [mm] f(x_0)| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] für $|x - [mm] x_0| [/mm] < [mm] \delta$
[/mm]
Insofern musst du dann eine Abschätzung finden, so dass deine Ungleichungskette auch für [mm] \delta [/mm] gilt, was nicht von [mm] x_0 [/mm] abhängt.
MFG,
Gono.
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