Stetigkeit einer Funktion < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Servus noch mal,
dieses Mal geht es um den Nachweis der Stetigkeit einer Funktion in mehreren Veränderlichen in einem bestimmten Punkt (z.B. (0,0)).
Gegeben sei eine polynomiale Funktion in mehreren Veränderlichen z.B. [mm] f(x,y)=((2*x^3)-(3 *y^3))/((x^2)+(4 *y^2)) [/mm] (sorry, dass ich das mit dem Bruch nicht hinbekommen habe).
Wie kann ich hier die Stetigkeit nachweisen? Das sollte jetzt wahrscheinlich durch Abschätzungen stattfinden. Welche Abschätzungen gibt es, welche sollte man kennen?
Bisher kam ich mit weglassen von Termen mit geraden Potenzen, Kürzen und quadratischer Ergänzung weiter.
Wo könnte ich Übungsaufgaben finden, an denen ich mich weiter ausprobieren kann? Königsberger & Co. finde ich wenig ergiebig.
vielen Dank schonmal
grasshead
PS: Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:07 Do 29.09.2005 | | Autor: | t.sbial |
Direktes Abschätzen und dann noch ein geeignetes [mm] \delta [/mm] finden ist in den meisten Fällen ne ziemlich knifflige Sache und wird eigentlich auch fast nie verlangt. Probiers doch so:
Als Verküpfung stetiger Funktionen ist deine Funktion ja fast überall stetig. Der einzige kritische Punkt ist (0,0). Und da benutze einfach die limes Definition.
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)}f(x,y)=f(0,0)
[/mm]
Natürlich ist f in (0,0) gar nicht definiert darum versucht man f dort stetig fortzusetzen indem man den links- und rechtsseitigen limes miteinander vergleicht.
z.B. ist f(x,0)=2x und da gehen beide gegen 0. Ebenso bei f(0,y).
Damit müsste f in (0,0) stetig sein.
Ok tut mir leid. Da steht stuss!
Selbst wenn in alle Richtungen der Limes existiert muss f in (0,0) nicht stetig sein. Ist bei Richtungsableitungen genau das selbe.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:12 Fr 30.09.2005 | | Autor: | SEcki |
> Natürlich ist f in (0,0) gar nicht definiert darum
> versucht man f dort stetig fortzusetzen indem man den
> links- und rechtsseitigen limes miteinander vergleicht.
> z.B. ist f(x,0)=2x und da gehen beide gegen 0. Ebenso bei
> f(0,y).
> Damit müsste f in (0,0) stetig sein.
Nein, so wie es da steht ist es falsch - man kann, um eine positive Antwort zu bekommen, nicht einfach Stetigkeit bzgl. einer Komponenten machen - hiermuss man eine Abschätzung amchen, da bleibt nichts anderes übrig! Sie ist trotzdem stetig, aber das muss man anders zeigen. (Als Beispiel kann man sich zB eine Funktion überlegen, die auf den winkelhalbierenden ohnen (0,0) 1 ist, sonst 0)
SEcki
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