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Stetigkeit einer Funktion: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:28 Sa 02.05.2009
Autor: scr3tchy

Aufgabe
[mm] f(x)=\begin{cases} x + \bruch{9}{4}, -\infty < x < -1 \\ \cosh \bruch{x}{a}, -1 < x <= 1 \\ -x + b, 1 < x < \infty \end{cases} [/mm]

Bei der Aufgabe soll gezeigt werden, wie a und b gewählt werden müssen, damit x stetig ist...

Hoffe ihr könnt mir einen Ansatz geben wie ich da vorgehen kann....

Vielen dank schon mal

        
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Stetigkeit einer Funktion: Grenzwerte
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:32 Sa 02.05.2009
Autor: Loddar

Hallo scr3tchy!


Betrachte an den beiden "Nahtstellen" [mm] $x_1 [/mm] \ = \ -1$ sowie [mm] $x_2 [/mm] \ = \ +1$ jeweils den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert.

Für Stetigkeit muss hier jeweils derselbe Grenzwert entstehen.


Gruß
Loddar


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Stetigkeit einer Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:08 Sa 02.05.2009
Autor: scr3tchy

So habe ich auch schon angefangen.....mein Problem ist jedoch...ich habe versucht den Grenzwert von cosh [mm] \bruch{x}{a} [/mm] zu berechnen....doch wie verhält sich dieser term bei x -> -1 oder 1 ...da liegt momentan mein Problem....

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Stetigkeit einer Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:57 Sa 02.05.2009
Autor: Denny22

Hallo,

Berechnung von $a$:

Es gilt:
     [mm] $\lim_{x\to -1,x<-1}x+\frac{9}{4}=-1+\frac{9}{4}=\frac{5}{4}$ [/mm]
Es muss also gelten:
     [mm] $\lim_{x\to -1,-1 Dazu rechnen wir:
     [mm] $\mathrm{cosh}\left(\frac{-1}{a}\right)=\frac{5}{4}\;\Longrightarrow\;-\frac{1}{a}=\mathrm{arcosh}\left(\frac{5}{4}\right)\;\Longrightarrow\;\frac{1}{a}=-\mathrm{arcosh}\left(\frac{5}{4}\right)\;\Longrightarrow\;a=\frac{1}{-\mathrm{arcosh}\left(\frac{5}{4}\right)}$ [/mm]

Berechnung von $b$:

Es gilt:
     [mm] $\lim_{x\to 1,-1 Es muss also gelten:
     [mm] $\lim_{x\to 1,x>1}-x+b=\frac{5}{4}$ [/mm]
Dazu rechnen wir:
     [mm] $-1+b=\frac{5}{4}\;\Longrightarrow\;b=1+\frac{5}{4}=\frac{9}{4}$ [/mm]

Ich hoffe, dass ich mich nicht verrechnet habe, aber so dürfte es funktionieren.

Gruß Denny

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