Stetigkeit einer Funktion < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:54 Sa 27.10.2007 | | Autor: | chrisso |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Funktionen f: IR [mm] \to [/mm] IR auf Stetigkeit und Unstetigkeitsstellen. Charakterisieren Sie die evtl. vorhandenen Unstetigkeitsstellen.
[mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{1}{x-1} , & \mbox{für } x \mbox{ <1} \\ ln(x), & \mbox{für } x \mbox{ >=1} \end{cases}
[/mm]
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Hallo erstmal hier im Forum,
Mein Name ist Chris und ich habe zum WS07/08 angefangen Wirtschaftsinformatik zu studieren.
Wir behandeln in Wirtschaftsmathe gerade das Thema Stetigkeit und Ableitungen und irgendwie hänge ich bei den Übungsaufgaben...
Zur obigen Aufgabe habe ich mir bisher folgende Gedanken gemacht:
Grundgedanke: Überprüfen des Verhaltens der Funktionswerte bei x=1
Zuerst möchte ich mich den Funktionswerten von links nähern, in diesem Fall also die Funktionswerte der Funktion f(x) = [mm] \bruch{1}{x-1} [/mm] bei x gegen 1 untersuchen.
Also brauche ich eine Folge, die als Grenzwert die 1 hat:
[mm] a_{1} [/mm] = [mm] 1-\bruch{1}{n}
[/mm]
Daraus ergibt sich die Bildfolge:
[mm] b_{1}: \bruch{1}{1-\bruch{1}{n}-1} [/mm]
Und der Grenzwert der Bildfolge:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} b_{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-\bruch{1}{n}-1} [/mm]
Hier habe ich dann folgende Frage:
Für 0 ist die Funktion ja nicht definiert.
Heißt das, dass die Bildfolge den Grenzwert - [mm] \infty [/mm] hat?
Oder ist die Funktion für den Grenzwert nicht definiert, existiert also gar kein Grenzwert?
Angenommen der Grenzwert wäre - [mm] \infty [/mm] (so sieht der Graph im Plotter zumindest aus).
Dann untersuche ich nun das Verhalten der Funktionswerte bei x=1 von rechts genähert:
Wieder eine Folge mit Grenzwert 1, aber von rechts::
[mm] a_{2} [/mm] = [mm] 1+\bruch{1}{n}
[/mm]
Daraus ergibt sich die Bildfolge:
[mm] b_{2} [/mm] = [mm] ln(1+{\bruch{1}{n}}) [/mm]
Und der Grenzwert der Bildfolge:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} b_{2} [/mm] = ln(1+0) = ln(1) = 0
Daraus schließe ich nun:
f(1) = 0 = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} b_{2}
[/mm]
aber
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} b_{2} \not= \limes_{n\rightarrow\infty} b_{1}
[/mm]
Somit hat die Funktion eine Sprungstelle bei x=1
Mir bleiben noch 2 Fragen:
Frage 1:
Wenn ich die Funktionswerte von links und rechts untersuchen möchte, muss ich dann dafür auch die Funktionen nehmen, für die der Definitionsbereich "passt"?
In meinem Beispiel also:
Möchte ich die Funktionswerte von links her untersuchen, muss ich das mit der Bildfolge der Funktions f(x) = [mm] \bruch{1}{x-1} [/mm] tun? Denn nur da ist ja x<1 definiert.
Frage 2:
Was genau ist an meiner Rechnung nun alles falsch? ^^
Wäre nett, wenn ihr das gründlich erklären könntet, damit ich das einmal elementar verstanden hätte.
Vielen, vielen Dank schonmal,
Chris
Achja:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:15 Sa 27.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Chris und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Und gleich noch ein Kompliment. Nett, dass du dich erst vorstellst und dann deine Aufgabe sehr genau schilderst.
Und die Antwort :
ALLES IST RICHTIG!
Damit ist deine Frage schon beantwortet.
die 1. Frage: ja, für den linken GW nur die linke, den rechten nur die rechte fkt untersuchen, denn für x>1 ist die fkt ja lnx und nix anderes.
Ich würde Statt Sprungstelle einfach schreiben, die fkt ist bei x=1 unstetig, da links und rechtseitiger Grenzwert nicht übereinstimmen.
(Sprungstellen nennt man meist Stellen wo es von einem endlichen zu einem endlichen Wert springt, etwa von -1 nach +1.
die linke fkt hat einen Pol, also soolte man schreiben Sprung von 0 nach [mm] -\infty.
[/mm]
2. du sollst nicht nur die eine Stelle untersuchen- so versteh ich die Aufgabe,- sondern auch die Stetigkeit für [mm] x\ne1.
[/mm]
Das kannst du direkt machen, oder mit Sätzen aus der Vorlesung. ihr habt z.Bsp die Stetigkeit von f(x)=x und von f(x)=konst schon untersucht, und den Satz Summe und Produkt von stet. fkt. sind stetig, Quotient f/g ist stetig falls [mm] g\ne0 [/mm] und ähnliches. Dann musst du keinen allgemeinen Stetigkeitsbeweis machen.
Gruss leduart
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