Stetigkeit der Norm < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:10 So 31.07.2016 | | Autor: | phifre |
| Aufgabe | Wahr oder falsch?
Ist V ein normierter [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] -Vektorraum, so ist die Norm [mm] $$x\mapsto\|x\|$$ [/mm] eine stetige Funktion von V nach [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] |
Hallo!
Ich weiß bei der Frage leider nicht so recht, wie sich das beweisen lässt.. Naheliegend wäre zu zeigen, dass die Urbilder offener Mengen wieder offen sind. Leider gibt es in [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] so viele verschiedene Arten von offenen Menge, dass mir das aber auch fast unmöglich erscheint.
Die Aufgabe sieht übrigens keine spezielle, sondern eine allgemeine Norm vor.
Irgendwelche Ideen?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:51 So 31.07.2016 | | Autor: | fred97 |
> Wahr oder falsch?
> Ist V ein normierter [mm]$\mathbb{R}$[/mm] -Vektorraum, so ist die
> Norm [mm]x\mapsto\|x\|[/mm] eine stetige Funktion von V nach
> [mm]$\mathbb{R}$[/mm]
> Hallo!
>
> Ich weiß bei der Frage leider nicht so recht, wie sich das
> beweisen lässt.. Naheliegend wäre zu zeigen, dass die
> Urbilder offener Mengen wieder offen sind. Leider gibt es
> in [mm]\mathbb{R}[/mm] so viele verschiedene Arten von offenen
> Menge, dass mir das aber auch fast unmöglich erscheint.
> Die Aufgabe sieht übrigens keine spezielle, sondern eine
> allgemeine Norm vor.
> Irgendwelche Ideen?
Ja ! Aus der Dreiecksungleichung folgt
(*) $ [mm] {\Big |}\|x\|-\|y\|{\Big |}\leq \|x- y\|$,
[/mm]
die sogenannte umgekehrte Dreiecksungleichung.
Aus (*) folgt ratzfatz die Stetigkeit der Norm. Wie ?
FRED
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> Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:39 So 31.07.2016 | | Autor: | phifre |
Wunderbar, vielen Dank!
Dann wählt man [mm] $x,y\in [/mm] V$ mit [mm] $\|x-y\|<\varepsilon\eqqcolon$ [/mm] damit gilt
[mm] $$\big|\,\|x\|-\|y\|\,\big|\leq\|x-y\|<\varepsilon$$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:25 So 31.07.2016 | | Autor: | fred97 |
> Wunderbar, vielen Dank!
>
> Dann wählt man [mm]x,y\in V[/mm] mit [mm]\|x-y\|<\varepsilon\eqqcolon[/mm]
> damit gilt
> [mm]\big|\,\|x\|-\|y\|\,\big|\leq\|x-y\|<\varepsilon[/mm]
ja. das zeigt, dass die Norm sogar Lipschitz stetig ist.
, mit Lipschitz konstante 1.
fred
f
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