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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:13 Mo 05.05.2014 | | Autor: | Ledi |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass für einen metrischen Raum [mm] (Y,d_{Y}) [/mm] eine Funktion [mm] f:E\to [/mm] Y genau dann stetig bezüglich [mm] ||*||_{1} [/mm] auf E ist, wenn sie stetig bezüglich [mm] ||*||_{2} [/mm] auf E ist. |
Hallo!
Ich habe mal eine Frage zu dieser Aufgabe. Und zwar bin ich auf folgende Lösung gekommen und wollte mal nachfragen, ob das so stimmt.
Da die zwei Normen äquivalent sind, gilt:
[mm] C_{2}*||x||_{A} \le ||x||_{1} \le C_{1}*||x||_{2}.
[/mm]
Sei nun [mm] \epsilon [/mm] >0 beliebig vorausgesetzt.
[mm] Setze||*||_{1} [/mm] auf E stetig voraus, d.h.:
[mm] ||x-y||_{1} [/mm] < [mm] {\delta}^{\*} \Rightarrow ||f(x)-f(y)||_{1} [/mm] < [mm] {\epsilon}^{\*}.
[/mm]
Wähle nun [mm] \tilde \delta [/mm] := [mm] \bruch{{\delta}^{\*}}{C_{1}} [/mm] und [mm] {\epsilon}^{\*} [/mm] := [mm] \bruch{\epsilon}{C_{2}}.
[/mm]
[mm] \forall y\in ||*||_{2} [/mm] mit [mm] ||x-y||_{2} [/mm] < [mm] \tilde \delta
[/mm]
haben wir nun:
[mm] ||x-y||_{1} \le C_{1}*||x-y||_{2} [/mm] < [mm] C_{1}*\tilde \delta [/mm] = [mm] {\delta}^{\*}.
[/mm]
[mm] \Rightarrow ||f(x)-f(y)||_{1} [/mm] < [mm] {\epsilon}^{\*}.
[/mm]
[mm] \Rightarrow ||f(x)-f(y)||_{2} \le ||f(x)-f(y)||_{1}*C_{2} [/mm] < [mm] {\epsilon}^{\*}*C_{2} [/mm] = [mm] \epsilon.
[/mm]
[mm] \Rightarrow ||*||_{2} [/mm] ist stetig auf E.
Passt das so?
Vielleicht kann mir ja jemand Feedback darüber geben.
Ich wäre sehr dankbar darüber.
Viele Grüße, Ledi!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:01 Di 06.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass für einen metrischen Raum [mm](Y,d_{Y})[/mm] eine
> Funktion [mm]f:E\to[/mm] Y genau dann stetig bezüglich [mm]||*||_{1}[/mm]
> auf E ist, wenn sie stetig bezüglich [mm]||*||_{2}[/mm] auf E ist.
Ich vermute, dass E = [mm] \IR^n [/mm] ist. Stimmts ?
> Hallo!
> Ich habe mal eine Frage zu dieser Aufgabe. Und zwar bin
> ich auf folgende Lösung gekommen und wollte mal
> nachfragen, ob das so stimmt.
>
> Da die zwei Normen äquivalent sind, gilt:
> [mm]C_{2}*||x||_{A} \le ||x||_{1} \le C_{1}*||x||_{2}.[/mm]
Genauer: es ex. [mm] C_1,C_2>0 [/mm] mit:
[mm]C_{2}*||x||_{2} \le ||x||_{1} \le C_{1}*||x||_{2}[/mm] für alle x [mm] \in [/mm] E.
> Sei
> nun [mm]\epsilon[/mm] >0 beliebig vorausgesetzt.
> [mm]Setze||*||_{1}[/mm] auf E stetig voraus,
Hä ? Es geht doch um die Stetigkeit von f !!!!
> d.h.:
> [mm]||x-y||_{1}[/mm] < [mm]{\delta}^{\*} \Rightarrow ||f(x)-f(y)||_{1}[/mm]
> < [mm]{\epsilon}^{\*}.[/mm]
Ups ! Dir scheint nich klar zu sein, was zu zeigen ist.
[mm] ||f(x)-f(y)||_{1} [/mm] ist doch sinnlos, denn f(x) und f(y) sind Elemente des metr. Raumes Y
>
> Wähle nun [mm]\tilde \delta[/mm] := [mm]\bruch{{\delta}^{\*}}{C_{1}}[/mm]
> und [mm]{\epsilon}^{\*}[/mm] := [mm]\bruch{\epsilon}{C_{2}}.[/mm]
>
> [mm]\forall y\in ||*||_{2}[/mm] mit [mm]||x-y||_{2}[/mm] < [mm]\tilde \delta[/mm]
>
> haben wir nun:
> [mm]||x-y||_{1} \le C_{1}*||x-y||_{2}[/mm] < [mm]C_{1}*\tilde \delta[/mm] =
> [mm]{\delta}^{\*}.[/mm]
> [mm]\Rightarrow ||f(x)-f(y)||_{1}[/mm] < [mm]{\epsilon}^{\*}.[/mm]
> [mm]\Rightarrow ||f(x)-f(y)||_{2} \le ||f(x)-f(y)||_{1}*C_{2}[/mm]
> < [mm]{\epsilon}^{\*}*C_{2}[/mm] = [mm]\epsilon.[/mm]
> [mm]\Rightarrow ||*||_{2}[/mm] ist stetig auf E.
>
> Passt das so?
Nein.
Ich formuliere mal eine Richtung:
f sei stetig bezüglich [mm] ||*||_1.
[/mm]
Zeige: zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ex. ein [mm] \delta [/mm] >0 mit:
sind x,y [mm] \in [/mm] E und gilt [mm] ||x-y||_2< \delta, [/mm] so ist [mm] d_Y(f(x),f(y))< \varepsilon
[/mm]
FRED
> Vielleicht kann mir ja jemand Feedback darüber geben.
> Ich wäre sehr dankbar darüber.
>
> Viele Grüße, Ledi!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:56 Di 06.05.2014 | | Autor: | Ledi |
Dankeschön.
Ich habs nun gelöst.
Gruß Ledi!
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