Stetigkeit beweisen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:58 Mi 22.04.2009 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Sei [mm] \IR^2 [/mm] mit einer Norm versehen.
Sei [mm] f:\IR^2 \to \IR [/mm] definiert durch [mm] f(x,y):=\begin{cases} \wurzel{x^2+y^2} & \mbox{ falls } x \ge 0 \\ |y|, & \mbox{ falls } x < 0 \end{cases} [/mm]
Zeigen Sie mit dem [mm] \varepsilon-\delta-[/mm]Kriterium, dass f in [mm] \vektor{0\\0} [/mm] stetig ist. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
ich habe folgenden Ansatz:
Sei [mm] x \ge 0 [/mm], dann gilt
[mm] \parallel \vektor{x\\y} - \vektor{0\\0} \parallel < \delta \Rightarrow \parallel \wurzel{x^2+y^2} - 0 \parallel < \varepsilon [/mm]
Ist das richtig ?
Kann ich jetzt irgendeine Norm wählen, oder muss ich [mm] \parallel x \parallel _2 = \wurzel{x^2+y^2} [/mm] diese Norm wählen ?
Dann wäre die Norm gleich der Funktion ? :
[mm] \wurzel{x^2+y^2} < \delta \Rightarrow \wurzel{x^2+y^2} < \varepsilon [/mm]
Also kann ich für ein beliebiges [mm] \varepsilon [/mm] ein [mm] \delta [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm] wählen ?
Danke, Susanne.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:17 Mi 22.04.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Susanne,
> Sei [mm]\IR^2[/mm] mit einer Norm versehen.
> Sei [mm]f:\IR^2 \to \IR[/mm] definiert durch [mm]f(x,y):=\begin{cases} \wurzel{x^2+y^2} & \mbox{ falls } x \ge 0 \\ |y|, & \mbox{ falls } x < 0 \end{cases}[/mm]
>
> Zeigen Sie mit dem [mm]\varepsilon-\delta-[/mm]Kriterium, dass f in
> [mm]\vektor{0\\0}[/mm] stetig ist.
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
> Kann ich jetzt irgendeine Norm wählen, oder muss ich
> [mm]\parallel x \parallel _2 = \wurzel{x^2+y^2}[/mm] diese Norm
> wählen ?
ich würde hier einfach den [mm] $\IR^2$ [/mm] mit der euklidischen Norm versehen (so, wie Du es ja auch getan hast), dann die Stetigkeit entweder, wie Du, mit [mm] $\epsilon-\delta$ [/mm] nachweisen (ich habe mir Deine Überlegungen dazu allerdings nicht besonders intensiv angeschaut) oder mit dem Folgenkriterium nachweisen (Stetigkeit=Folgenstetigkeit).
Wenn man weiß, dass auf dem [mm] $\IR^n$ [/mm] alle Normen äquivalent sind, kann man sich nämlich darauf beschränken, die Aussage für den [mm] $\IR^2$ [/mm] mit einer speziellen Norm zu beweisen. Vll. würde es aber durchaus auch reichen, nur zu wissen, dass [mm] $\|.\|$ [/mm] eine Norm auf dem [mm] $\IR^2$ [/mm] ist, und dann mit der Abstandsfunktion [mm] $d(x,y):=\|x-y\|$ [/mm] für $x,y [mm] \in \IR^2$ [/mm] zu arbeiten.
Wenn Du allerdings mit einer speziellen Norm des $ [mm] \IR^2$ [/mm] arbeitest, brauchst Du ein Argument, warum es reicht, die Aussage für diese spezielle Norm zu beweisen. Das Argument dazu ist dann halt die Äquivalenz der Normen auf dem [mm] $\IR^2\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:23 Mi 22.04.2009 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Marcel,
vielen Dank für deine Hilfe !
Durch deinen Hinweis weiss ich jetzt, dass ich die euklidische Norm nehmen kann - für den Beweis ist nur das [mm] \varepsilon-\delta[/mm]-Kriterium verlangt.
Und ob ich das richtig gemacht habe ... ?
Das ist jetzt die Frage.
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:39 Mi 22.04.2009 | | Autor: | iks |
Hallo Susanne!
> Hallo,
> ich habe folgenden Ansatz:
> Sei [mm]x \ge 0 [/mm], dann gilt
> [mm]\parallel \vektor{x\\y} - \vektor{0\\0} \parallel < \delta \Rightarrow \parallel \wurzel{x^2+y^2} - 0 \parallel < \varepsilon[/mm]
>
> Ist das richtig ?
Naja das [mm] $\delta$ [/mm] wäre noch zu bestimmen (wie immer in Abhängigkeit von [mm] $\varepsilon$).
[/mm]
> Kann ich jetzt irgendeine Norm wählen, oder muss ich
> [mm]\parallel x \parallel _2 = \wurzel{x^2+y^2}[/mm] diese Norm
> wählen ?
Meiner Meinung nach kannst du eine beliebige Norm nehmen
Ich habe die Supremumsnorm genommen.
>
> Dann wäre die Norm gleich der Funktion ? :
> [mm]\wurzel{x^2+y^2} < \delta \Rightarrow \wurzel{x^2+y^2} < \varepsilon[/mm]
>
> Also kann ich für ein beliebiges [mm]\varepsilon[/mm] ein [mm]\delta[/mm] =
> [mm]\varepsilon[/mm] wählen ?
>
Wenn du die [mm] $||.||_2$ [/mm] Norm nimmst geht das zumindest für [mm] $x\ge0$
[/mm]
Falls du eine Lösung haben solltest sag bescheid. Ich würde meine Eigene gern "kontrollieren" lassen.
Lasse den Status bei Teilweise beantwortet.
mFg iks
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 Mi 22.04.2009 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Iks,
vielen Dank für deine Hilfe !!
Wenn dieser Ansatz für x [mm] \ge [/mm] 0 richtig ist, dann wäre für x<0:
[mm]\parallel \vektor{x\\y} - \vektor{0\\0} \parallel < \delta \Rightarrow \parallel |y| - 0 \parallel < \varepsilon[/mm]
Und dann ?:
[mm] |y| < \varepsilon \Rightarrow y^2<\varepsilon^2 [/mm]
Also wenn [mm]\parallel \vektor{x\\y} - \vektor{0\\0} \parallel = \wurzel{x^2+y^2} <\delta \Rightarrow x^2+y^2<\delta^2 [/mm]
Und dann
[mm] x^2+\varepsilon^2 < \delta^2 [/mm]
Ich kann doch [mm] \delta [/mm] nicht in Abhängigkeit von x wählen ?
Jetzt bin ich verwirrt ... wie gehts weiter ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:28 Mi 22.04.2009 | | Autor: | iks |
Moment mal! Wir hatten zu [mm] $x\ge0$ [/mm] den Ansatz (besser was zu zeigen wäre):
[mm] $||\vektor{x\\y}||<\delta\Rightarrow |f\vektor{x\\y}-f\vektor{0\\0}|<\epsilon$
[/mm]
Nach den Anmerkungen von Marcel ist klar, das du jede Norm auf zur Deltabestimmung nehmen darfst. Also auch die [mm] $||.||_2$ [/mm] -Norm.
Ab nun läuft doch der ganz normale Algorithmus ab.
Seien [mm] $X:=\vektor{x\\y},$ $A:=\vektor{0\\0}\in\IR^2$, $\epsilon>0$ [/mm] freigewählt, [mm] $\delta=\epsilon$ [/mm] und [mm] $||\vektor{x\\y}||_2=\sqrt{x^2+y^2}<\delta$. [/mm] Dann ist:
[mm] $|f(X)-f(A)|=\sqrt{x^2+y^2}<\epsilon$ [/mm] falls [mm] $x\ge0$
[/mm]
Für $x<0$ könntest du sicherlich wieder eine andere Norm wählen wenn sie dir günstiger erscheint. Um dies zu vermeiden hab ich mich gleich für die Maximumsnorm entschieden - die liefert für $x<0$ gleich das Gewünschte und [mm] $\sqrt{x^2+y^2}$ [/mm] lässt sich auch gut abschätzen.
mFg iks
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Mi 22.04.2009 | | Autor: | SusanneK |
Hallo iks,
vielen Dank für deine Hilfe !!
Ok, neuer Versuch mit der Supremumnorm:
[mm] || \vektor{x\\y} || = max\{| \vektor{x\\y} | \} [/mm]
Wenn y [mm] \ge [/mm] x ist das genau |y|, wenn y<x, dann ist das |x|.
Dann kann ich wieder [mm] \delta= \epsilon [/mm] wählen.
Stimmt das ?
Danke, Susanne.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:23 Mi 22.04.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Meiner Meinung nach kannst du eine beliebige Norm nehmen
> Ich habe die Supremumsnorm genommen.
wie gesagt: Da die Normen auf dem [mm] $\IR^n$ [/mm] äquivalent sind, sollte damit Deine Meinung gerechtfertigt sein 
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:55 Mi 22.04.2009 | | Autor: | SusanneK |
> wie gesagt: Da die Normen auf dem [mm]\IR^n[/mm] äquivalent sind,
> sollte damit Deine Meinung gerechtfertigt sein
>
> Gruß,
> Marcel
Hallo Marcel,
ja, VIELEN DANK !!
Das war mir nicht so ganz klar.
LG und danke, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:37 Do 23.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Wegen $|y| [mm] \le \wurzel{x^2+y^2}$ [/mm] ist
$|f(x,y) -f(0,0)| = f(x,y) [mm] \le \wurzel{x^2+y^2} [/mm] = ||(x,y)|| = ||(x,y)-(0,0)||$
Ist [mm] \varepsilon [/mm] > 0, so kannst Du also [mm] $\delta [/mm] = [mm] \varepsilon$ [/mm] wählen !!
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:07 Do 23.04.2009 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Fred,
WOW - VIELEN DANK !
Deine Erklärung hat mir gezeigt, dass es ganz einfach geht.
Danke, Susanne.
(Kann vielleicht jemand die Frage als beantwortet kennzeichnen ? - Danke.)
> Wegen [mm]|y| \le \wurzel{x^2+y^2}[/mm] ist
>
>
> [mm]|f(x,y) -f(0,0)| = f(x,y) \le \wurzel{x^2+y^2} = ||(x,y)|| = ||(x,y)-(0,0)||[/mm]
>
> Ist [mm]\varepsilon[/mm] > 0, so kannst Du also [mm]\delta = \varepsilon[/mm]
> wählen !!
>
>
> FRED
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