Stetigkeit bei Vereinigung < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:58 Fr 17.01.2014 | | Autor: | Twistor |
| Aufgabe | | A und B seien zwei abgeschlossene Teilmengen von [mm] \IR [/mm] und f: A [mm] \cup [/mm] B [mm] \to \IR. [/mm] Die Einschränkung (f auf A): A [mm] \to \IR [/mm] und (f auf B):B [mm] \to \IR [/mm] sind stetig. Es gilt zu zeigen, dass dann auch f stetig ist. |
Hallo
Ich bin gerade an dieser Aufgabe dran. Habe versucht, mit dem Folgenkriterium auf eine Lösung zu kommen:
Sei [mm] x_0 \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B und [mm] (x_n)_{n \in \IN} [/mm] eine Folge in A [mm] \cup [/mm] B mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_n [/mm] = [mm] x_0, [/mm] dann muss gezeigt werden, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n) [/mm] = [mm] f(x_0).
[/mm]
Jetzt wollte ich eine Fallunterscheidung machen:
Fall 1: [mm] x_0 \in [/mm] A
Fall 2: [mm] x_0 \in [/mm] B
Aber ich weiß jetzt nicht genau, wie ich hier vorgehen soll. Ich bin mir gar nicht mal sicher, ob das der richtige Ansatz ist. Wir wissen ja, dass A stetig ist, somit gilt ja automatisch, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n) [/mm] = [mm] f(x_0)? [/mm] Aber gerade das will ich ja eigentlich zeigen?
Vielen Dank für Eure Hilfe
Beste Grüße
Twistor
|
|
| |
|
Hiho,
> Ich bin gerade an dieser Aufgabe dran. Habe versucht, mit dem Folgenkriterium auf eine Lösung zu kommen:
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Jetzt wollte ich eine Fallunterscheidung machen:
>
> Fall 1: [mm]x_0 \in[/mm] A
>
> Fall 2: [mm]x_0 \in[/mm] B
> Aber ich weiß jetzt nicht genau, wie ich hier vorgehen soll.
Die Idee ist nicht verkehrt, du kannst aber ein Problem bekommen, weil es durchaus eine Folge aus [mm] $B\setminus [/mm] A$ geben kann, die gegen [mm] $x_0 \in [/mm] A$ konvergiert.
Nimm als Ansatz lieber:
1.) Nur endlich viele [mm] x_n [/mm] liegen in A
2.) Für unendlich viele n gilt [mm] $x_n \in [/mm] A$ und für unendlich viele k gilt [mm] $x_k \in [/mm] B$
> Wir wissen ja, dass A stetig ist
Aufpassen mit der Formulierung: f ist eingeschränkt auf A stetig!
> somit gilt ja automatisch, dass [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n)[/mm] = [mm]f(x_0)?[/mm]
Für [mm] $(x_n) \subseteq [/mm] A$ mit [mm] $x_n \to x_0$ [/mm] ja.
Und auch für [mm] $x_n \subseteq [/mm] B$.
Du willst es ja aber für alle Folgen [mm] $(x_n) \subseteq A\cup [/mm] B$ zeigen und das machen wir gerade.
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Fr 17.01.2014 | | Autor: | Twistor |
Danke für die superschnelle Antwort.
Ich versuche gerade, deinen Ansatz zu verstehen.
> 1.) Nur endlich viele [mm]x_n[/mm] liegen in A
Konvergenz heißt ja, dass ab einem gewissen Glied meiner Folge alle weiteren Folgenglieder in einer bestimmten Umgebung des Grenzwertes liegen müssen. Wenn ich jetzt aber nur endlich viele Folgenglieder in A habe, heißt das ja automatisch, dass der Grenzwert nicht in A liegen kann? [mm] x_0 [/mm] liegt in dem Fall also in B?
>2.) Für unendlich viele n gilt [mm] x_n \in A [/mm] und für unendlich viele k gilt [mm] x_k \in B [/mm]
Hier wäre es dann ja genau umgekehrt. Unendlich viele Folgenglieder liegen in A bzw. B, deshalb liegt auch der Grenzwert in A bzw. B?
Habe ich das richtig verstanden?
Viele Grüße
Twistor
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:17 Sa 18.01.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke für die superschnelle Antwort.
>
> Ich versuche gerade, deinen Ansatz zu verstehen.
>
> > 1.) Nur endlich viele [mm]x_n[/mm] liegen in A
>
> Konvergenz heißt ja, dass ab einem gewissen Glied meiner
> Folge alle weiteren Folgenglieder in einer bestimmten
> Umgebung des Grenzwertes liegen müssen. Wenn ich jetzt
> aber nur endlich viele Folgenglieder in A habe, heißt das
> ja automatisch, dass der Grenzwert nicht in A liegen kann?
wer sagt denn, dass nicht [mm] $x_0 \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B$ ist? Du weißt doch hier nur, dass [mm] $x_0 \in [/mm] A [mm] \setminus [/mm] B$
nicht möglich wäre. Sowohl [mm] $x_0 \in [/mm] B [mm] \cap [/mm] A$ als auch [mm] $x_0 \in [/mm] B [mm] \setminus [/mm] A$ ist möglich.
[Beispiel: Nimm' [mm] $A:=[-1,0]\,$ [/mm] und [mm] $B:=[0,1]\,$ [/mm] und die Folge [mm] $x_n:=-1$ [/mm] für alle
$n [mm] \in \{1,...,10\}$ [/mm] sowie [mm] $x_n:=1/n$ [/mm] für $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $n [mm] \ge 11\,.$] [/mm]
> [mm]x_0[/mm] liegt in dem Fall also in B?
Ja, denn, um es mal in Worten zu umschreiben, ist [mm] $(x_n)_n$ [/mm] ja eh schon eine
Folge, die "sich fast vollständig in [mm] $B\,$ [/mm] bewegt". (Es ist aber halt $B= (B [mm] \setminus [/mm] A) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \cap B)\,,$
[/mm]
wobei die Vereinigung rechterhand [sogar] disjunkt ist...)
Genauer: Es gibt ein [mm] $k_0 \in \IN$ [/mm] mit [mm] $x_{k_0+n} \in [/mm] B$ für alle [mm] $n\,.$ [/mm] Also folgt
wegen [mm] $x_{k_0+n} \to x_0$ [/mm] ($n [mm] \to \infty$) [/mm] [warum?] sodann [mm] $x_0 \in [/mm] B.$
Übrigens wäre das Fall 1a), es kann ja auch der Fall 1b) auftreten, dass nur
endlich viele Folgenglieder zu [mm] $B\,$ [/mm] gehören (sie können dann auch zu [mm] $A\,$
[/mm]
gehören), die anderen aber alle nur zu [mm] $A\,$ [/mm] gehören. Das kann man aber auf
obigen Fall zurückführen (da reicht schon ein Hinweis auf Bezeichnungen:
Hier tauschen [mm] $A\,$ [/mm] und [mm] $B\,$ [/mm] einfach die Rollen in Fall 1a)).
> >2.) Für unendlich viele n gilt [mm]x_n \in A[/mm] und für
> unendlich viele k gilt [mm]x_k \in B[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Hier wäre es dann ja genau umgekehrt. Unendlich viele
> Folgenglieder liegen in A bzw. B, deshalb liegt auch der
> Grenzwert in A bzw. B?
???
Es gibt dann eine Teilfolge $(x_{n^{(A)}_k})_k$ von $(x_n)_n,$ die gegen $x_0$
konvergiert und alle Folgenglieder in $A\,$ hat ($x_{n^{(A)}_k} \in A$ für alle $k\,.$).
Ferner: Es gibt dann eine Teilfolge $(x_{n^{(B)}_k})_k$ von $(x_n)_n,$ die gegen $x_0$
konvergiert und alle Folgenglieder in $B\,$ hat.
Dabei kannst Du o.E. annehmen, dass
($\*$) $\{n^{(A)}_k:\;\; k \in \IN\} \;\;\cup\;\; \{n^{(B)}_k:\;\; k \in \IN\}=\IN.$
Definiere nun etwa
(I) $y_0:=\lim_{k \to \infty}f(x_{n^{(A)}_k})\,.$
Zeige dann auch:
(II) $y_0=\lim_{k \to \infty}f(x_{n^{(\red{B})}_k})\,.$
(Wenn Du Dir klarmachst, wie Du die rechte Seite von (I) umschreiben und $x_0 \in A$
benützen kannst [ $\left. f \right|_A$ ist ja stetig! ], ist das ein Einzeiler, bzw. maximal
ein Zweizeiler, weil das bei (II) analog geht!)
Mit ($\*$) kann man dann folgern, dass jede TF von $(\red{f}(x_n))_n$ gegen
$y_0$ konvergiert. Damit bist Du fertig. (Beachte, dass auch $y_0=f(x_0)$ oben
an geeigneter Stelle gefolgert werden kann!)
P.S. HJKweseleit hat Dir auch noch eine alternative Form der Fallunterscheidung,
die sich auf Fälle bzgl. $x_0$ anstatt auf Fallunterscheidung in der Folge, bezieht,
vorgeschlagen. Lies' Dir das auch mal durch, ich persönlich finde diese
Vorgehensweise etwas "überschaubarer", auch, wenn die hier vorgeschlagene
sicher nicht sehr viel weniger elegant ist!
P.P.S. In obigem 2en Fall ist übrigens notwendig $x_0 \in A \cap B$!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
> A und B seien zwei abgeschlossene Teilmengen von [mm]\IR[/mm] und f:
> A [mm]\cup[/mm] B [mm]\to \IR.[/mm] Die Einschränkung (f auf A): A [mm]\to \IR[/mm]
> und (f auf B):B [mm]\to \IR[/mm] sind stetig. Es gilt zu zeigen,
> dass dann auch f stetig ist.
> Hallo
>
> Ich bin gerade an dieser Aufgabe dran. Habe versucht, mit
> dem Folgenkriterium auf eine Lösung zu kommen:
>
> Sei [mm]x_0 \in[/mm] A [mm]\cup[/mm] B und [mm](x_n)_{n \in \IN}[/mm] eine Folge in A
> [mm]\cup[/mm] B mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_n[/mm] = [mm]x_0,[/mm] dann muss
> gezeigt werden, dass [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n)[/mm] =
> [mm]f(x_0).[/mm]
>
> Jetzt wollte ich eine Fallunterscheidung machen:
>
> Fall 1: [mm]x_0 \in[/mm] A
---------------------------
Besser: Fall 1: [mm]x_0 \in[/mm] A [mm] \backslash [/mm] B
Betrachte nun eine Folge aus A [mm] \cup [/mm] B, die gegen [mm] x_0 [/mm] konvergiert. Sie kann nur endlich viele Glieder aus B enthalten, denn sonst besäße sie eine Teilfolge ganz aus B, die gegen [mm] x_0 [/mm] konvergieren würde, und dann müsste [mm] x_0 [/mm] wegen der Abgeschlossenheit auch zu B gehören, was ja nicht der Fall sein soll.
Diese Folge hat ab irgendwann nur noch Glieder aus A, und deshalb gilt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n)[/mm] = [mm]f(x_0),[/mm] weil das ja für alle Folgen aus A gilt.
------------------------------
>
> Fall 2: [mm]x_0 \in[/mm] B
>
--------------------------------
Besser: Fall 2: [mm]x_0 \in[/mm] B [mm] \backslash [/mm] A
Analog zu Fall 1
Fall 3: [mm] x_0 \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B, also in beiden.
Hier gibt es nun 3 mögliche Teilfolgen:
a) mit endlich vielen Gliedern aus B. Dann gilt das unter Fall 1 gesagte.
b) entsprechend umgekehrt
c) unendlich viele Glieder aus A und unendlich viele aus B.
Diese spaltest du einfach in 2 Teilfolgen auf: Eine, die alle Elemente aus A und eine, die alle aus B enthält.
Den Rest kriegst du sicher alleine hin...
-----------------
> Aber ich weiß jetzt nicht genau, wie ich hier vorgehen
> soll. Ich bin mir gar nicht mal sicher, ob das der richtige
> Ansatz ist. Wir wissen ja, dass A stetig ist, somit gilt ja
> automatisch, dass [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n)[/mm] =
> [mm]f(x_0)?[/mm] Aber gerade das will ich ja eigentlich zeigen?
>
> Vielen Dank für Eure Hilfe
>
> Beste Grüße
>
> Twistor
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:37 Sa 18.01.2014 | | Autor: | fred97 |
g sei die Einschränkung von f auf A und h die Einschränkung von f auf B.
Was wir benötigen ist:
1. Die Vereinigung von 2 abgeschlossenen Teilmengen in [mm] \IR [/mm] ist wieder abgeschlossen.
2. Ist X eine abgeschlossene Teilmengen von [mm] \IR [/mm] und Y eine Teilmenge von X, so gilt:
Y ist abgeschlossen in X [mm] \gdw [/mm] Y ist abgesclossen in [mm] \IR.
[/mm]
3. f ist stetig [mm] \gdw [/mm] für jede abgeschlossene Menge C [mm] \subseteq \IR [/mm] ist [mm] f^{1}(C) [/mm] abgeschlossen in A [mm] \cup [/mm] B.
Aus 1. und 2. folgt:
4. f ist stetig [mm] \gdw [/mm] für jede abgeschlossene Menge C [mm] \subseteq \IR [/mm] ist [mm] f^{1}(C) [/mm] abgeschlossen in [mm] \IR.
[/mm]
5. Man rechne für eine Teilmenge C von [mm] \IR [/mm] nach:
[mm] f^{1}(C) =g^{1}(C) \cup g^{1}(C) [/mm] .
Ist nun C abgeschlossen, so folgt aus obigem : [mm] f^{1}(C) [/mm] ist abgeschlossen.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:27 Sa 18.01.2014 | | Autor: | Twistor |
Vielen Dank für Eure Antworten.
Soweit habe ich es verstanden, nur beim [mm] x_0 \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B habe ich noch Verständnisprobleme.
Dann gibt es ja den Fall, dass eine Folge unendlich viele Glieder aus A und unendlich viele Glieder aus B haben kann.
Ich verstehe es noch, dass es dann auch eine Teilfolge gibt, die alle Glieder aus A hat, und eine Teilfolge, die alle Glieder aus B hat.
Wenn die Glieder einer Teilfolge komplett aus A bestehen, heißt das ja, dass für diese Teilfolge die Stetigkeitsbedingung erfüllt ist, weil f beschränkt auf A stetig ist.
Es gibt also ein [mm] x_0 \in [/mm] A, (weil ja [mm] x_0 \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B vorausgesetzt ist, und somit [mm] x_0 [/mm] auch in A liegt), welches der Grenzwert meiner Teilfolge ist, für das dann gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n_k}) [/mm] = [mm] f(x_0)
[/mm]
Gleiches gilt dann auch für B
Habe ich das richtig verstanden?
Danke für Eure Hilfe
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:40 Sa 18.01.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank für Eure Antworten.
>
> Soweit habe ich es verstanden, nur beim [mm]x_0 \in[/mm] A [mm]\cap[/mm] B
> habe ich noch Verständnisprobleme.
>
> Dann gibt es ja den Fall, dass eine Folge unendlich viele
> Glieder aus A und unendlich viele Glieder aus B haben
> kann.
wichtig ist auch, dass dieses Teilfolgen der Ausgangsfolge sind - die
Ausgangsfolge konvergiert ja gegen [mm] $x_0\,,$ [/mm] und damit auch diese TFen.
> Ich verstehe es noch, dass es dann auch eine Teilfolge
> gibt, die alle Glieder aus A hat, und eine Teilfolge, die
> alle Glieder aus B hat.
>
> Wenn die Glieder einer Teilfolge komplett aus A bestehen,
> heißt das ja, dass für diese Teilfolge die
> Stetigkeitsbedingung erfüllt ist, weil f beschränkt
eingeschränkt ist da das Wort der Wahl!!
> auf A
> stetig ist.
> Es gibt also ein [mm]x_0 \in[/mm] A, (weil ja [mm]x_0 \in[/mm] A [mm]\cap[/mm] B
> vorausgesetzt ist, und somit [mm]x_0[/mm] auch in A liegt), welches
> der Grenzwert meiner Teilfolge ist, für das dann gilt
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n_k})[/mm] = [mm]f(x_0)[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Gleiches gilt dann auch für B
>
> Habe ich das richtig verstanden?
Ich vermute leider nicht. Also machen wir es mal ausführlich: Sei $x_0 \in A \cap B\,.$
Gelte $x_n \to x_0$ und es gebe
a) unendlich viele Folgenglieder, die zu $A\,$ gehören
und
b) unendlich viele Folgenglieder, die zu $B\,$ gehören.
Ich konstruiere nun jeweils eine TF von $(x_n)_n$ wie gewünscht:
Falls $x_1 \in A$ (auch der Fall $x_1 \in A \cap B$ ist möglich!), so setze
$x_{n^{(A)}_1}:=x_1\,.$
(Später werde ich noch was dazuschreiben, was wir tun, falls $x_1 \in B \setminus A$ wäre!)
Wir definieren nun
$M_1:=\min\{k \in \IN \wedge k \ge 2 \text{ mit }x_k \in B\}.$
(Begründe die Existenz eines solchen $M_1 \in \IN$!)
Wir setzen
$x_{n^{(A)}_k}:=x_k$ für $k \in \{2,...,M_1-1\}.$
Dann gilt schonmal
$x_{n^{(A)}_k} \in A$
für alle $k=1,...,M_1-1.$
Ferner definieren wir
$x_{n^{(B)}_1}:=x_{M_1} \in B\,.$
Wir setzen
$M_2:=\min\{k \in \IN \wedge k \ge M_1+1 \text{ mit }x_k \in A\}.$
Wir definieren
$x_{n^{(B)}_k}:=x_{M_1+k-1}$ für alle $k \in \{2,...,M_2-M_1\}.$
Dann sind
$x_{n^{(B)}_k} \in B$ für alle $k \in \{1,...,M_2-M_1\}.$
Versuche mal, aufzuschreiben, wie man nun "die nächsten $x_{n^{(A)}_k}$" wohl
definieren würde?! (Am Ende muss auch noch [kurz] begründet werden,
warum so da wirklich [unendliche] TFen von $(x_n)_n$ konstruiert wurden!)
(Zum rotmarkierten Teil: Falls $x_1 \in B \setminus A,$ so vertausche bspw.
einfach die Rollen von $A\,$ und $B\,$.)
Erfahrungsgemäß scheint das ganze erst mal sehr formal, daher werde ich
es ein wenig "Verbildlichen":
Wir haben $x_n \to x_0$ und wir nehmen o.E. $x_1 \in A$ an. Ich schreibe
jetzt $y_k:=x_{n^{(A)}_k}$ und $z_k:=x_{n^{(B)}_k}.$
Wegen $x_1 \in A$ setzen wir $y_1:=x_1.$ Wie oben ist $M_1$ die kleinste ganze Zahl
$k \ge 2$ so, dass $x_{k} \in B$ erfüllt ist. (Gäbe es eine solche nicht, so würden
folglich doch nur endlich viele Folgenglieder zu $B\,$ gehören - in diesem Schritt
hier würde man "bestenfalls" noch $x_1 \in B$ haben...)
Schematisch bedeutet das etwa, falls $M_1 > 2$ ist (das muss übrigens nicht
sein, nur $M_1 \blue{ \;\ge\; }2$ ist klar):
$(x_1 \in A, x_2 \in A \setminus B, x_3 \in A \setminus B, ..., x_{M_1-1} \in A \setminus B, x_{M_1} \in B=(B \setminus A) \cup (A \cap B),...)$
Deswegen setze
$y_1:=x_1,$ ... $y_{M_{1}-1}:=x_{M_1-1}.$
Diese ganzen bisher definieren $y_k$'s sind dann alles Elemente aus $A\,.$
Nun setze
$z_1:=x_{M_1}.$
Dann ist sicher $z_1 \in B=(B \setminus A) \cup (A \cap B)\,.$ Ich mache jetzt
mal folgendes: Wenn $x_k \in A \setminus B,$ dann wird $x_k$ rotmarkiert, wenn
$x_k \in B \setminus A,$ dann wird $x_k$ blaumarkiert. Wir haben also momentan
$(x_n)_n=(\green{x_1,} \red{x_2, \ldots, x_{M_1-1}}, \green{x_{M_1},}...)$
Hier könnte es sein, dass $x_1 \in A \setminus B$ wäre - aber weil auch $x_1 \in A \cap B$
möglich ist, darf ich $x_1$ nicht rotmarkieren, daher wir das nicht rot-
oder blaugefärbt, sondern in grünmarkiert.
Analoges gilt für $x_{M_1}:$ Wir wissen ja nur, dass $x_{M_1} \in B$ gilt, können
damit aber noch nicht auch $x_{M_1} \notin A$ folgern.
Also:
$\begin{matrix}{(x_n)}_{n=1}^{M_1} & =& (\green{x_1,} & \red{x_2,} & \red{\ldots} & \red{x_{M_1-1,} & \green{x_{M_1}})}}\\ \\ {(y_n)}_{n=1}^{M_1-1} & = & (y_1:=x_1, & y_2:=x_2, & \ldots & y_{M_1-1}=x_{M_1-1}, & \\ \\ (z_1) &=&( & & & &z_1:=x_{M_1})\end{matrix}.$
Auch nun sei $M_2$ wie oben definiert:
$M_2:=\min\{k \in \IN \wedge k \ge M_1+1 \text{ mit }x_k \in A\}.$
Wenn nun $M_2 > M_1+1$ ist (auch das muss nicht sein, es ist nur $M_2 \ge M_1+1$ klar)
$(x_n)_n=(\green{x_1}, \red{x_2, \ldots, x_{M_1-1}}, \green{x_{M_1}},\blue{x_{M_1+1},\ldots,x_{M_2-1}},\green{x_{M_2}},...).$
Also:
$\begin{matrix}{(x_n)}_{n=1}^{M_2} & =& (\green{x_1,} & \red{x_2,\;\ldots} & & \red{x_{M_1-1,} & \green{x_{M_1},} & \blue{x_{M_1+1},\;\ldots} & \blue{x_{M_2-1},} & \green{x_{M_2}} )} & \\ \\
{(y_n)}_{n=1}^{M_1} & = & (y_1:=x_1, & y_2:=x_2, & \ldots & y_{M_1-1}=x_{M_1-1}, & & & & y_{M_1}:=x_{M_2})\\ \\{(z_n)}_{n=1}^{M_2-M_1} &=&( & & & &z_1:=x_{M_1}, & z_2:=x_{M_1+1},\; \ldots & z_{M_2-M_1}:=\underbrace{x_{M_1+(M_2-M_1-1)}}_{=x_{M_2-1}} & )\end{matrix}.$
Das ist so das Schema. Beachte aber, wenn Du etwa sowas wie
$(x_n)_n=(\green{x_1,x_2,x_3,x_4,}\blue{x_5, x_6}, \green{x_7,x_8,}\blue{x_9, x_{10}, x_{11}},...)$
sehen würdest, so ist das nicht falsch (man könnte sowas denken, weil ja
nicht grün-blau-grün-rot schematisch zu sehen ist). Es bedeutet (für die
farbig erkennbaren Folgeglieder), dass gilt (wir haben ja mit $x_1 \in A$ angefangen!)
bzw. dass man definieren würde
$x_1 \in A$ (dass auch $x_1 \in B$ gilt, ist nicht(!) ausgeschlossen!)
$\Longrightarrow$ $y_1:=x_1$
$x_2 \in B$ (dass auch $x_2 \in A$ gilt, ist nicht(!) ausgeschlossen!)
$\Longrightarrow$ $z_1:=x_2$
$x_3 \in A$ (dass auch $x_3 \in B$ gilt, ist nicht(!) ausgeschlossen!)
$\Longrightarrow$ $y_2:=x_3$
$x_4 \in B$ (dass auch $x_4 \in A$ gilt, ist nicht(!) ausgeschlossen!)
$\Longrightarrow$ $z_2:=x_4$
$x_5 \in B \setminus A$
$\Longrightarrow$ $z_3:=x_5$
$x_6 \in B \setminus A$
$\Longrightarrow$ $z_4:=x_6$
$x_7 \in A$ (dass auch $x_7 \in B$ gilt, ist nicht(!) ausgeschlossen!)
$\Longrightarrow$ $y_3:=x_7$
$x_8 \in B$ (dass auch $x_8 \in A$ gilt, ist nicht(!) ausgeschlossen!)
$\Longrightarrow$ $z_5:=x_8$
$x_9 \in B \setminus A$
$\Longrightarrow$ $z_6:=x_9$
$x_{10} \in B \setminus A$
$\Longrightarrow$ $z_7:=x_{10}$
$x_{11} \in B \setminus A$
$\Longrightarrow$ $z_8:=x_{11}$
Weil $(x_n)_n$ eine Folge in $A \cup B$ ist, die sowohl unendlich viele Folgenglieder
in $A\,$ als auch in $B\,$ hat, so kann es aber jedenfalls nicht sein, dass bei
dieser Farbmarkierung ab einem gewissen Index alle darauffolgenden
Folgeglieder nur noch rot oder nur noch blaumarkiert sind. Es muss immer
unendlich viele grünmarkierte geben. (Das sind die, wo beim letzten Bsp.
immer dieses "... ist nicht ausgeschlossen!" dabeisteht.)
Diese bewirken aber gerade immer, dass keine der beiden so konstruierten
Teilfolgen irgendwann "abbricht", d.h. es sind wirklich "unendliche Folgen".
P.S. Die weitere Folgerung wäre dann etwa: Wegen $A \ni x_{n^{(A)}_k} \to x_0$ ($k \to \infty$) gilt, weil
$A\,$ abgeschlossen ist, daher $x_0 \in A$ gelten muss und weil $\left. f \right|_A$ stetig ist, also
$\lim_{k \to \infty}f(x_{n^{(A)}_k})=\lim_{k \to \infty}\left. f\right|_A(x_{n^{(A)}_k})=\left. f\right|_A\big(\lim_{k \to \infty}x_{n^{(A)}_k}\big)=\left. f \right|_A(x_0)=f(x_0).$
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:43 Sa 18.01.2014 | | Autor: | Marcel |
P.S. Ich denke, dass die "Konstruktionsidee" bei meiner Antwort klar ist. Es
wäre schön und nett, dass, falls jemand die Zeit und Lust hat, das Ganze
formal nochmal kontrolliert wird (stimmen die Indizes oder gibt es da etwas
zu korrigieren etc. pp.). Ein Hinweis auf (potentielle) Fehler ist immer gut,
denn gerade bei solch' "Selbstgebasteltem" übersehe ich da schonmal
schnell etwas.
Also, wer mag und zudem Zeit hat: Bitte kontrollieren und mich auf Fehler
hinweisen, damit ich diese korrigieren kann. Das kann ruhig in einer Mitteilung
geschehen und muss nicht per PN laufen!
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
