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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:43 Mo 20.02.2006 | | Autor: | cucho |
| Aufgabe | | Zeige, mit [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] , dass [mm] x^3 [/mm] stetig ist. |
Hallo,
ich will aus Eigeninteresse zeigen, dass [mm] x^3 [/mm] stetig ist, ohne den Satz für Polynomfunktionen zu benutzen.
Es gilt also zu zeigen, dass [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] D [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] D : | x - a | < [mm] \delta \Rightarrow [/mm] | [mm] x^3 [/mm] - [mm] a^3 [/mm] | [mm] \varepsilon
[/mm]
Ok, wir haben
| [mm] x^3 [/mm] - [mm] a^3 [/mm] | = | (x-a) [mm] (x^2 [/mm] + ax + [mm] a^2) [/mm] | = | (x-a) ( [mm] (x+a)^2 [/mm] - ax) |
Was kann ich denn hier genau abschätzen. Ich hänge hier fest.
Funktioniert das hier:
| [mm] x^2 [/mm] + ax + [mm] a^2 [/mm] | > | ax + [mm] a^2 [/mm] | [mm] \ge [/mm] | a | | x + [mm] a^2 [/mm] |
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \bruch{1}{|x^2+ax+a^2|} [/mm] < [mm] \bruch{1}{|ax+a^2|} \le \bruch{1}{|a||x+a^2|}
[/mm]
Wie bekomme ich das x hier am Besten weg?
Gilt das hier:
[mm] \bruch{1}{|a||x+a^2|} \le \bruch{1}{|a||a+a^2|} [/mm] ???????
Gruß
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Hallo und guten Morgen,
probieren wir es doch mal, und zwar mit einer mir persönlich etwas angenehmeren Schreibweise:
[mm] |(x+\delta)^3-x^3| \:\: [/mm] = [mm] \:\:| x^3 \: +\: [/mm] 3 [mm] x^2\cdot\delta\: +\: [/mm] 3 [mm] x\cdot \delta^2\: +\: \delta^3\:\: -x^3|
[/mm]
[mm] \leq \:\: |\delta \cdot \: 3x^2|\:\: +\:\: |\:3x\cdot\delta\:|\:\: +\:\: |\delta^2|
[/mm]
und jetzt sieht man doch schon, wie man [mm] \delta [/mm] wählen muß, um die rechte Seite kleiner einem gegebenen [mm] \epsilon [/mm]
zu bekommen:
Wähle [mm] \delta [/mm] so, dass
jeder dieser drei Summanden auf der rechten Seite kleiner als [mm] \epsilon\slash [/mm] 3 wird.
Klar soweit ?
Viele Grüße,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 Di 21.02.2006 | | Autor: | cucho |
Ich weiß nicht, ob ich Recht habe. Aber ich glaube du hast ein [mm] \delta [/mm] unterschlagen. Ich sehe nicht wo es hin ist. Es müsste doch heißen,
|3 [mm] x^2 \delta| [/mm] + |3 x [mm] \delta^2| [/mm] + [mm] |\delta^3|
[/mm]
Oder?
Dann muss ich mein [mm] \delta [/mm] also wie folgt wählen
[mm] \delta [/mm] := [mm] \bruch{\min{ \bruch{\varepsilon}{|3 x^3|}, \wurzel{\bruch{\varepsilon}{|3x|}},\wurzel[3]{\varepsilon} } }{3}
[/mm]
Ne kurze Bestätigung reicht mir aus.
Schöne Grüße und danke für den Trick. Ist echt prima.
Sebastian
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Hallo,
ja, Du hast recht. Also Deine Wahl stimmt, und allgemein gilt:
Mit den [mm] \delta [/mm] ' s muss man verdammt aufpassen, sonst entwischen sie einem sofort.
Sind halt ziemlich klein, die Biester !
Gruss,
Mathias
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