Stetigkeit Komposition < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:38 Sa 03.03.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
Sind [mm] $f\colon (X,\mathcal{O}_1)\to (Y,\mathcal{O}_2)$ [/mm] und [mm] $g\colon (Y,\mathcal{O}_2)\to (Z,\mathcal{O}_3)$ [/mm] stetig, so auch [mm] $g\circ f\colon (X,\mathcal{O}_1)\to (Z,\mathcal{O}_3)$, [/mm] wobei [mm] $(X,\mathcal{O}_1),(Y,\mathcal{O}_2),(Z,\mathcal{O}_3)$ [/mm] topologische Räume bezeichnen. |
[mm] $g\circ [/mm] f$ ist stetig, wenn [mm] $(g\circ f)^{-1}(O)\in\mathcal{O}_1~\forall~O\in\mathcal{O}_3$
[/mm]
Mein Beweis hiervon:
[mm] $(g\circ f)^{-1}(O)=(f^{-1}\circ g^{-1})(O)=f^{-1}(g^{-1}(O))$
[/mm]
Da g n.V. stetig ist, gilt [mm] $g^{-1}(O)\in\mathcal{O}_2~\forall~O\in\mathcal{O}_3$.
[/mm]
Da f n.V. stetig ist, gilt dann [mm] $f^{-1}(g^{-1}(O))\in\mathcal{O}_1~\forall O\in\mathcal{O}_3$.
[/mm]
Also ist [mm] $g\circ [/mm] f$ stetig.
[mm] $\Box$
[/mm]
Ist das so ok?
Beste Grüße
mikexx
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:23 Sa 03.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie:
>
> Sind [mm]f\colon (X,\mathcal{O}_1)\to (Y,\mathcal{O}_2)[/mm] und
> [mm]g\colon (Y,\mathcal{O}_2)\to (Z,\mathcal{O}_3)[/mm] stetig, so
> auch [mm]g\circ f\colon (X,\mathcal{O}_1)\to (Z,\mathcal{O}_3)[/mm],
> wobei [mm](X,\mathcal{O}_1),(Y,\mathcal{O}_2),(Z,\mathcal{O}_3)[/mm]
> topologische Räume bezeichnen.
>
> [mm]g\circ f[/mm] ist stetig, wenn [mm](g\circ f)^{-1}(O)\in\mathcal{O}_1~\forall~O\in\mathcal{O}_3[/mm]
>
> Mein Beweis hiervon:
ergänzen: Für alle $O [mm] \in \mathcal{O}_3$ [/mm] gilt:
> [mm](g\circ f)^{-1}(O)=(f^{-1}\circ g^{-1})(O)=f^{-1}(g^{-1}(O))[/mm]
> Da g n.V. stetig ist, gilt
> [mm]g^{-1}(O)\in\mathcal{O}_2~\forall~O\in\mathcal{O}_3[/mm].
>
> Da f n.V. stetig ist, gilt dann
> [mm]f^{-1}(g^{-1}(O))\in\mathcal{O}_1~\forall O\in\mathcal{O}_3[/mm].
>
> Also ist [mm]g\circ f[/mm] stetig.
>
> [mm]\Box[/mm]
>
>
>
> Ist das so ok?
Ja!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:32 Sa 03.03.2012 | | Autor: | mikexx |
...Du hast mir schon wieder geholfen, danke 
|
|
|
|
