Stetigkeit Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei f: [a,b] → [mm] \IR [/mm] Riemann-integrierbar, und sei ξ ∈ [a,b]. Sei ferner
F: [a,b]→ [mm] \IR, F(x)=\integral_{a}^{x}{f(t) dt}
[/mm]
zeigen Sie:
a) F ist stetig
b) Wenn f bei ξ stetig ist, ist F bei ξ differenzierbar. |
Hallo Leute,
b) Wenn ich mich nicht irre ist b) einfach der Hauptsatz der Differential und Integralrechnung.
a) eine Funktion ist stetig wenn zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein [mm] \delta [/mm] > 0 existiert, so dass für alle x mit |x - [mm] x_{o}| [/mm] < [mm] \delta [/mm] gilt: |f(x) - [mm] f(x_{0})| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]
|F(x) - [mm] F(x_{0})| [/mm] < [mm] \varepsilon \gdw |\integral_{a}^{x}{f(t) dt} [/mm] - [mm] \integral_{a}^{x_{0}}{f(t) dt}| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] o.B.d.A sei [mm] x_{0}
[mm] |\integral_{a}^{x}{f(t) dt} [/mm] - [mm] \integral_{a}^{x_{0}}{f(t) dt}| [/mm] < [mm] \varepsilon \gdw|\integral_{x_{0}}^{x}{f(t) dt}| [/mm] < [mm] \varepsilon.
[/mm]
Da f Riemann-integrierbar existieren Treppenfunktionen [mm] a\le [/mm] f [mm] \le [/mm] b ( Ich kann f durch Treppenfunktionen approximieren)
[mm] |\integral_{x_{0}}^{x}{f(t) dt}| [/mm] < [mm] \varepsilon \gdw |\integral_{x_{0}}^{x}{b(t) dt}-\integral_{x_{0}}^{x}{a(t) dt}|< \varepsilon
[/mm]
[mm] |\integral_{x_{0}}^{x}{b(x)-a(x) dx}|< \varepsilon [/mm] (Linear Integral)
a und b sind konstant sei a(x)=s und b(x)=t
[mm] |x-x_{0}(s-t)|< \varepsilon [/mm]
[mm] |x-x_{0}|< \varepsilon/(s-t)=\delta
[/mm]
mfg zahlenfreund
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:59 So 19.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Sei f: [a,b] → [mm]\IR[/mm] Riemann-integrierbar, und sei ξ ∈
> [a,b]. Sei ferner
> F: [a,b]→ [mm]\IR, F(x)=\integral_{a}^{x}{f(t) dt}[/mm]
> zeigen
> Sie:
> a) F ist stetig
> b) Wenn f bei ξ stetig ist, ist F bei ξ
> differenzierbar.
> Hallo Leute,
>
> b) Wenn ich mich nicht irre ist b) einfach der Hauptsatz
> der Differential und Integralrechnung.
So ist es.
>
> a) eine Funktion ist stetig wenn zu jedem [mm]\varepsilon>0[/mm] ein
> [mm]\delta[/mm] > 0 existiert, so dass für alle x mit |x - [mm]x_{o}|[/mm]
> < [mm]\delta[/mm] gilt: |f(x) - [mm]f(x_{0})|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> |F(x) - [mm]F(x_{0})|[/mm] < [mm]\varepsilon \gdw |\integral_{a}^{x}{f(t) dt}[/mm]
> - [mm]\integral_{a}^{x_{0}}{f(t) dt}|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] o.B.d.A
> sei [mm]x_{0}
> [mm]|\integral_{a}^{x}{f(t) dt}[/mm] - [mm]\integral_{a}^{x_{0}}{f(t) dt}|[/mm]
> < [mm]\varepsilon \gdw|\integral_{x_{0}}^{x}{f(t) dt}|[/mm] <
> [mm]\varepsilon.[/mm]
> Da f Riemann-integrierbar existieren Treppenfunktionen
> [mm]a\le[/mm] f [mm]\le[/mm] b ( Ich kann f durch Treppenfunktionen
> approximieren)
> [mm]|\integral_{x_{0}}^{x}{f(t) dt}|[/mm] < [mm]\varepsilon \gdw |\integral_{x_{0}}^{x}{b(t) dt}-\integral_{x_{0}}^{x}{a(t) dt}|< \varepsilon[/mm]
>
> [mm]|\integral_{x_{0}}^{x}{b(x)-a(x) dx}|< \varepsilon[/mm] (Linear
> Integral)
> a und b sind konstant sei a(x)=s und b(x)=t
Hä ??? Wie das ??????
> [mm]|x-x_{0}(s-t)|< \varepsilon[/mm]
> [mm]|x-x_{0}|< \varepsilon/(s-t)=\delta[/mm]
>
> mfg zahlenfreund
Da f Riemann- intbar ist, ist f auf [a,b] beschränkt, also ex. ein c [mm] \ge [/mm] 0 mit
|f(t)| [mm] \le [/mm] c für alle t [mm] \in [/mm] [a,b]
Zeige: es gilt
|F(x)-F(z)| [mm] \le [/mm] c|x-z| für alle x,z [mm] \in [/mm] [a,b].
F ist also sogar Lipschitzstetig auf [a,b] !!!!!
Treppenfunktionen brauchst Du nicht.
FRED
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Danke dein Tipp hat mir sehr geholfen.
> Da f Riemann-integrierbar existieren Treppenfunktionen
> $ [mm] a\le [/mm] $ f $ [mm] \le [/mm] $ b ( Ich kann f durch Treppenfunktionen
> approximieren)
> $ [mm] |\integral_{x_{0}}^{x}{f(t) dt}| [/mm] $ < $ [mm] \varepsilon \gdw |\integral_{x_{0}}^{x}{b(t) dt}-\integral_{x_{0}}^{x}{a(t) dt}|< \varepsilon [/mm] $
> a und b sind konstant sei a(x)=s und b(x)=t
Hä ??? Wie das ??????
a und b sind Treppenfunktionen auf [mm] [x_{0},x] [/mm] und nehmen daher einen konstanten Wert an (Definition einer Treppenfunktion).
Ich habe es jetzt mit deinen Ansatz gelöst, aber ist es falsch wie ich es mit dem epsilon-delta-Kriterium gezeigt habe ?
Lg zahlenfreund
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:42 So 19.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Danke dein Tipp hat mir sehr geholfen.
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> > Da f Riemann-integrierbar existieren Treppenfunktionen
> > [mm]a\le[/mm] f [mm]\le[/mm] b ( Ich kann f durch Treppenfunktionen
> > approximieren)
> > [mm]|\integral_{x_{0}}^{x}{f(t) dt}|[/mm] < [mm]\varepsilon \gdw |\integral_{x_{0}}^{x}{b(t) dt}-\integral_{x_{0}}^{x}{a(t) dt}|< \varepsilon[/mm]
>
> > a und b sind konstant sei a(x)=s und b(x)=t
>
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> Hä ??? Wie das ??????
> a und b sind Treppenfunktionen auf [mm][x_{0},x][/mm] und nehmen
> daher einen konstanten Wert an (Definition einer
> Treppenfunktion).
Wer sagt, dass a und b auf [mm][x_{0},x][/mm] konstant sind ????
FRED
> Ich habe es jetzt mit deinen Ansatz gelöst, aber ist es
> falsch wie ich es mit dem epsilon-delta-Kriterium gezeigt
> habe ?
> Lg zahlenfreund
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