Stetigkeit/Differenzierbarkeit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:27 Do 14.07.2005 | | Autor: | hexendoc |
Hallo,
Ich soll zeigen dass die Funktion [mm] f_{p,s}: \IR [/mm] -> [mm] \IR
[/mm]
[mm] f_{p,s}(x)=\begin{cases} x^{s}*p(x)* \exp( -\bruch{1}{x}), & \mbox{für } x >0 \\ 1, & \mbox{für } x =< 0 \end{cases}
[/mm]
(für jedes Polynom p mit reellen Koeffizienten und jede reelle Zahl s )
1. stetig ist.
2. differenzierbar ist, nämlich nach [mm] f_{p,s-2} [/mm] für geeignetes Polynom
wäre echt nett wenn ihr mir ein bisschen auf die sprünge helfen könntet, finde nämlich keinen Ansatz
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:08 Fr 15.07.2005 | | Autor: | QCO |
Ok, hier mein Ansatz für die Stetigkeit. Wie ausführlich du bei einzelnen Schritten sein musst, hängt etwas davon ab, was ihr schon gelernt hab.
1) f(x) ist für [mm]x \ge 0[/mm] stetig, denn ein Produkt von stetigen Funktionen ist auch stetig (und Polynome und [mm]e^{x}[/mm] sind stetig)
2) für [mm]x=0[/mm] ist es nicht ganz so klar; hier müssen wir etwas genauer schauen.
f(x) heißt stetig in [mm]x_{0}[/mm], wenn [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}+0} f(x) = \limes_{x\rightarrow x_{0}-0} f(x) = f(x_{0})[/mm] ist.
Das überprüfen wir jetzt.
Dass f(x) in 0 linksseitig stetig ist, ist klar.
Für die rechte Seite müssen wir
[mm]\limes_{x\rightarrow 0+0} f(x)= \limes_{x\rightarrow 0+0} x^{8}*p(x)*exp(-1/x)[/mm] bilden.
Da die einzelnen Grenzwerte existieren, gilt [mm]\limes_{x\rightarrow 0+0} x^{8}*p(x)*exp(-1/x) = \limes_{x\rightarrow 0+0} x^{8}*\limes_{x\rightarrow 0+0} p(x)*\limes_{x\rightarrow 0+0} exp(-1/x)[/mm]
Wenn du das jetzt mal scharf anschaust (und evtl. mal die Stetigkeit der einzelnen Glieder mit heranziehst), siehst du, dass das gleich 0 sein muss.
Für Aufgabe 2) kannst du analog verfahren. Bilde die Ableitung als Grenzwert und wende dann an, dass die einzelnen Faktoren stetig sind.
Dann zeigt sich, dass der Ableitungsgrenzwert exisitiert und f(x) also stetig ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:34 Fr 15.07.2005 | | Autor: | hexendoc |
Besten Danke für die Hilfe hat mir echt weitergeholfen!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:37 Sa 16.07.2005 | | Autor: | Fire21 |
Hi,
> Ich soll zeigen dass die Funktion [mm]f_{p,s}: \IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm]
>
> [mm]f_{p,s}(x)=\begin{cases} x^{s}*p(x)* \exp( -\bruch{1}{x}), & \mbox{für } x >0 \\ 1, & \mbox{für } x =< 0 \end{cases}[/mm]
>
> (für jedes Polynom p mit reellen Koeffizienten und jede
> reelle Zahl s )
>
also so, wie du diese Funktion [mm] f_{p,s} [/mm] definiert hast ist sie nicht stetig bei x=0, denn wie der Kollege QCO gezeigt hat, ist der rechtsseitige Grenzwert [mm] \lim_{x\rightarrow 0+} f_{p,s}(x) [/mm] = 0 [mm] \neq \lim_{x\rightarrow 0-} f_{p,s}(x) [/mm] = [mm] f_{p,s}(0)=1.
[/mm]
Vermutlich soll es in der Definition .... 0, [mm] x\leq [/mm] 0.... heißen?
Andernfalls, wie gesagt, ist diese Funktion bei x=0 nicht stetig.
Gruß
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