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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:45 So 30.05.2010 | | Autor: | zitrone |
Hallo,
mein neues Problem nennt sich Stetigkeit und Differenzierbarkeit.Ich habe es letzte Stunde kennengelernt und nichts verstanden. Aber haben wir ein ganzen Blatt voller Aufgaben bekommen, die ich daher nicht loesen kann, weil ich gar nicht weiss, wie ich anfangen soll...-_-
Koennte mir da bitte jemand helfen?
Ich hab mal die erste Funktion rausgeschrieben, die wie folgt lautet:
F(x)= [mm] 2x^{2}+ [/mm] ax - 2 fuer [mm] x\ge1
[/mm]
[mm] -bx^{2}+ [/mm] 2x+ 5 fuer x<1
Also beide Funktionen bilden eine Funktion!
Nun die Aufg. dazu:
1)Bestimme a und b so , dass f stetig auf R und differenzierbar auf R
2)Untersuche auf Extremwerte&Wendepunkte
Erst einmal moechte ich aber gerne klaeren, was es denn nu mit der Stetigkeit auf sich hat.
Aus einem Buch habe ich paar Infos dazu gefunden:
Eine Funktion f(x) ist an der Srelle [mm] x=x_{i} [/mm] stetig, wenn gilt:
[mm] -f(x_{i}) [/mm] exisitiert
[mm] -\limes_{x\rightarrow\x_{i}} [/mm] f(x) exisitiert
[mm] -\limes_{x\rightarrow\x_{i}} [/mm] f(x)= [mm] f(x_{i})
[/mm]
An den definierten Stellen (Nullstellen des Nennerpolynoms) sind die gebrochenrationalen Funktionen unstaetig. Eine Funktion, die man diskutiert, ist an allen definierten Stellen auch stetig. Nur zusammengesetzte Funktionen koennen an den "Nahtstellen" unstetig sein.
reicht das an Wissen zur Stetigkeit???
Meine angegebene Funktion, ist das eine zusammengesetzte Funktione?
Wie fange ich die 1 Aufgabe eigentlich an? Bringt mir die Info was?
Wie komm ich auf die Extremwerte & Wendepunkte?Also muss ich von jeder Funktion ihren Extremwerte & Wendepunkte ausrechnen?
Ich bin wirklich ratlos...:_:
lg zirone
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> Koennte mir da bitte jemand helfen?
>
> Ich hab mal die erste Funktion rausgeschrieben, die wie
> folgt lautet:
>
>
> F(x)= [mm]2x^{2}+[/mm] ax - 2 fuer [mm]x\ge1[/mm]
> [mm]-bx^{2}+[/mm] 2x+ 5 fuer x<1
>
> Also beide Funktionen bilden eine Funktion!
>
> Nun die Aufg. dazu:
>
> 1)Bestimme a und b so , dass f stetig auf R und
> differenzierbar auf R
> 2)Untersuche auf Extremwerte&Wendepunkte
Hallo,
erstmal intuitiv:
die Definitionsbereich Deiner zusammengesetzten Funktion F ist [mm] D_F=\IR.
[/mm]
"Stetig über dem Definitionsbereich [mm] \IR" [/mm] bedeutet anschaulich, daß Du den Graphen mit dem Stift durchzeichnen kannst. Der Graph "reißt" nicht.
Die "normalen" Funktionen, die "man" so kennt, sind stetig über ihrem Definitionsbereich.
Stetig sind auch die beiden Teilfunktionen, aus denen F zusammengesetzt ist.
Bei zusammengesetzten Funktionen kann aber die Stetigkeit leicht kaputtgehen: wenn sie an den "Nahtstellen" nicht zusammenpassen.
Stetig sind sie, wenn die Teilfunktionen an den Nahtstellen gut zusammenpassen.
Es ist bei Deiner Funktion F die Nahtstelle bei x=1.
Es ist F(1)=a.
Jetzt mußt Du schauen, ob der linke Funktionsast dazu paßt. Wie mußt Du b wählen, damit der Grenzwert von unten, [mm] \lim{x\to 1^{-}}(-bx^2+2x+5) [/mm] genau der Funktionswert ist, also [mm] \lim{x\to 1^{-}}(-bx^2+2x+5)=F(1) [/mm] gilt?
Das, was ich eben gesagt habe, ist in etwa das, was Du nachgelesen hast.
Ich find's übrigens echt gut, daß Du im Vorfeld schon ins Buch geschaut hast!
> Erst einmal moechte ich aber gerne klaeren, was es denn nu
> mit der Stetigkeit auf sich hat.
> Aus einem Buch habe ich paar Infos dazu gefunden:
>
> Eine Funktion f(x) ist an der Srelle [mm]x=x_{i}[/mm] stetig, wenn
> gilt:
> [mm]-f(x_{i})[/mm] exisitiert
> [mm]-\limes_{x\rightarrow x_{i}}[/mm] f(x) exisitiert
> [mm]-\limes_{x\rightarrow x_{i}}[/mm] f(x)= [mm]f(x_{i})[/mm]
---
Dies ist jetzt ein etwas anderes Thema als die Problematik bei Deiner zusammengesetzten Funktion:
> An den definierten Stellen (Nullstellen des Nennerpolynoms)
> sind die gebrochenrationalen Funktionen unstaetig.
Hm. Hier stimmt etwas nicht:
gebrochenrationale Funktionen sind an den Nullstellen der Nennerpolynome ja gerade undefiniert!
Und an undefinierten Stellen kann man überhaupt nicht von stetig oder unstetig sprechen.
Auch gebrochenrationale Funktionen sind über ihrem Definitionsbereich stetig: über den jeweils zusammenhängenden (!) Teilen des Definitionsbereiches kann man die Funktionsäste mit einem Strich zeichnen.
Bei gebrochrationalen Funktionen versucht man gern, die Definitionslücken durch "eingeflickte" Funktionswerte auszufüllen.
Hier gibt es Unterschiede: manche Definitionslücken sind so, daß man es nicht schaft, die Funktion so zu flicken, daß die "reparierte" Funktion f an der betreffenden Stelle stetig wird.
Beispiel:
[mm] f(x)=\bruch{1}{x}, D_f=\IR\\{0\}.
[/mm]
Man könnte den Wunsch haben, diese Funktion so zu verändern, daß sie über ganz [mm] \IR [/mm] definiert und stetig ist.
Dazu wäre für x=0 ein passender Funktionswert einzufügen.
In einer Skizze wirst Du sehen, daß Du aber keinen Funktionswert an der Stelle 0 finden wirst, mit welchem Du die Funktion flicken kannst.
anderes Beispiel:
g(x)= [mm] \bruch{x^2-1}{x-1}, D_g=\IR\\{1\}.
[/mm]
Diese Funktion ist bei x=1 nicht definiert.
Wenn Du sie mal zeichnest, wirst Du feststellen, daß es leicht ist, sie an dieser Stelle zu reparieren. Man kann sie an der Stelle x=1 "stetig ergänzen", die Stelle x=1 ist eine "hebbare Definitionslücke".
Die Funktion [mm] g_1:=\begin{cases} g(x), & \mbox{für } x\not=1 \\ 2, & \mbox{für } x=1 \end{cases}
[/mm]
hat den Definitionsbereich [mm] \IR [/mm] und ist stetig.
---
> Eine
> Funktion, die man diskutiert, ist an allen definierten
> Stellen auch stetig. Nur zusammengesetzte Funktionen
> koennen an den "Nahtstellen" unstetig sein.
Das unbedingt merkenswerte: bei zusammengesetzten Funktionen sind die Nahtstellen auf Stetigkeit zu untersuchen.
>
> Meine angegebene Funktion, ist das eine zusammengesetzte
> Funktione?
Ja.
Kurz noch ein Vorgriff auf die Differenzierbarkeit:
dort, wo Funktionen nicht stetig sind, sind sie schonmal von vornherein nicht differenzierbar.
Ist die Funktion stetig, so erkennst Du Differenzeirbarkeit daran, daß sie keinen Knick hat, sondern daß der Graph geschmeidig durchläuft.
Bei zusammengesetzten Funktionen sind wieder die Nahtstellen zu prüfen: ist die Ableitung des rechten Astes an der fraglichen Stelle dieselbe wie die des linken?
> Wie komm ich auf die Extremwerte & Wendepunkte?Also muss
> ich von jeder Funktion ihren Extremwerte & Wendepunkte
> ausrechnen?
Bei der Funktion oben berechnest Du die Extrema des linken Astes, die links der 1 liegen,
die des rechten Astes, die rechts der 1 liegen,
und dann machst Du Dir noch Gedanken über die Nahtstelle.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:35 Mo 31.05.2010 | | Autor: | zitrone |
Guten Abend!
Vielen Dank für deine ausführliche Erklärung!Vielen Dank!:DDD
Das hab ich jetzt hier besser vertsanden als im Unterricht xD
lg zitrone
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