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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:19 Fr 18.02.2005 | | Autor: | TWA |
Hi,
(1-cos x)/ [mm] x^2, [/mm] falls [mm] x\ne0
[/mm]
f(x)=
1/2, falls x=0
Die Frage ist, ob die Funktion an der Stelle x0=0 differenzierbar ist und wenn ja wie der Wert der Ableitung ist.
Die Angelegenheit ist ja stetig, was ja auch hieße, dass f(x) differenzierbar wäre.
Das Problem ist nur, dass bei 0 gerade eine Def.-Lücke ist.
Könnte es also sein, dass trotz Stetigkeit, die Funktion nicht differenzierbar ist??
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Hallo
[mm]f(x):= f(n)=\begin{cases} \bruch{1-cos x}{x^2}, & \mbox{für } x \ne 0 \\ \bruch{1}{2}, & \mbox{für } x=0 \end{cases}[/mm]
> Die Frage ist, ob die Funktion an der Stelle x0=0
> differenzierbar ist und wenn ja wie der Wert der Ableitung
> ist.
> Die Angelegenheit ist ja stetig, was ja auch hieße, dass
> f(x) differenzierbar wäre.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") leider nein, man kann sich ganz leicht Funktionen überlegen, die zwar stetig, aber nicht in jedem Punkt differenzierbar sind, die einfachste von ihnen ist die Betragsfunktion für x=0. *
> Das Problem ist nur, dass bei 0 gerade eine Def.-Lücke
> ist.
Ist es nicht, denn der Funktionswert wird dort ja zu 1/2 gesetzt...
> Könnte es also sein, dass trotz Stetigkeit, die Funktion
> nicht differenzierbar ist??
Nun, das müssen wir ja gerade überprüfen. Ist aber eigentlich halb so schlimm, denn es ist ja recht offensichtlich, daß f an allen Stellen außer der 0 aus difbaren Funktionen zusammengesetzt ist und damit dort selbst differenzierbar ist.
Das einzige worum wir uns kümmern müssen, ist also die Stelle x=0.
Da müßten wir jetzt einfach untersuchen, ob der limes des Differenzenquotienten dort existiert, d.h. einen bestimmten endlichen Wert hat, dieser ist dann auch der Wert der Ableitung an der Stelle 0, Du müßtest also [mm] \limes_{x\rightarrow\0}{ \bruch{ \bruch{1-cos x}{x^2}-\bruch{1}{2}} {x-0}}[/mm] untersuchen. wenn dieser Grenzwert existiert, ist die Funktion überall differenzierbar.
(Tip: de l'Hôspital)
Gruß,
Christian
* Klammerbemerkung: man kann sich auch Funktionen überlegen, die überall stetig, aber nirgends differenzierbar sind, wenn Du dich für solche Absurditäten interessierst, kannst Du ja mal irgendwo (z.B. bei Wikipedia) unter dem Stichwort "Fabersche Konstruktion" nachschlagen...
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Hi, TWA,
da Du bereits weißt, dass die Funktion bei x=0 stetig ist, kannst Du anstelle des Differenzenquotienten auch mit dem Grenzwert der Ableitung arbeiten!
Für [mm] x\not= [/mm] = lautet diese:
[mm] f'(x)=\bruch{x*sin(x)+2*cos(x)-2}{x^{3}} [/mm] (Nachrechnen, bitte!)
Lässt man hier nun x gegen 0 gehen, erhält man [mm] "\bruch{0}{0}", [/mm] also benötigt man
die Regel von de L'Hospital.
Wenn Du diese Regel 2 mal anwendest (und jeweils vereinfachst), erhältst Du den Grenzwert 0.
Ergebnis: Die Funktion ist differenzierbar und hat bei x=0 die Steigung 0.
(Wenn Du den L'Hospital nicht alleine schaffst, rühr' Dich noch mal!)
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:29 Fr 18.02.2005 | | Autor: | TWA |
Danke euch, der l'hospital ist nicht schwer. Der zweite Weg íst etwas einfacher, denke ich.
Danke und schönes Wochenende!
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