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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:10 Di 21.05.2013 | | Autor: | love |
Hallo LEute ich habe mal eine Frage wie kann man denn bei einer Matrix zeigen,dass diese stetig ist oder nicht. Ich weiss allgemein nicht wie sowas für matrizen funktioniert..
[mm] f(x)=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 }x
[/mm]
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Hallo love,
es gibt überhaupt keine stetigen Matrizen.
> Hallo LEute ich habe mal eine Frage wie kann man denn bei
> einer Matrix zeigen,dass diese stetig ist oder nicht. Ich
> weiss allgemein nicht wie sowas für matrizen
> funktioniert..
> [mm]f(x)=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 }x[/mm]
Die Funktion mag stetig sein, aber dazu müsste man mehr über die Funktion wissen. Ich nehme an, X ist selbst eine Matrix? Was wird hier von wo nach wo abgebildet? Diese Information solltest Du noch mitgeben.
Und ist dies eine normale Matrizenmultiplikation oder was genau?
Die Funktion wird dann stetig sein, wenn jedes Element des "Funktionswerts" (der wohl selbst auch wieder eine Matrix sein wird) stetig ist.
Und wenns wirklich nur Matrizenmultiplikation ist, dann wird das auch genau so sein.
Aber erstmal: mehr Info, bitte.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Di 21.05.2013 | | Autor: | love |
die Aufgabenstellung lautet:
Entscheiden Sie für die folgenden Funktionen, ob sie Lipschitz-stetig sind, und falls ja, geben
Sie eine Lipschitz-Konstante an. (Braucht de nitiv nicht optimal zu sein, muss aber begründet
werden.) Falls nicht anders erwähnt, ist jedes [mm] \IR^nimmer [/mm] mit der euklidischen Norm versehen.
[mm] f:\IR^3\to\IR^2 [/mm] mir der oben genannten matrix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:48 Di 21.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> die Aufgabenstellung lautet:
> Entscheiden Sie für die folgenden Funktionen, ob sie
> Lipschitz-stetig sind, und falls ja, geben
> Sie eine Lipschitz-Konstante an. (Braucht de nitiv nicht
> optimal zu sein, muss aber begründet
> werden.) Falls nicht anders erwähnt, ist jedes [mm]\IR^nimmer[/mm]
> mit der euklidischen Norm versehen.
>
> [mm]f:\IR^3\to\IR^2[/mm] mir der oben genannten matrix
na, das ist doch was ganz anderes. Zu fragen, "ob eine Matrix stetig ist",
macht nur Sinn, wenn man "Matrixfunktionen" hat, also die Einträge der Matrix
wieder Funktionen sind.
Die Aufgabe oben ist anders:
Mit einer Matrix $A [mm] \in \IR^{m \times n}\,$ [/mm] betrachtest Du die (lineare) Funktion
[mm] $$f_A \colon \IR^n \to \IR^m \text{ mit }f_A(x):=A*x\,.$$
[/mm]
Prüfe also nun, ob es eine Konstante [mm] $L>0\,$ [/mm] so gibt, dass für alle $x,y [mm] \in \IR^n$ [/mm] gilt
[mm] $$\|f_A(x)-f_A(y)\| \le \|x-y\|\,.$$
[/mm]
Dabei hast Du zu beachten, dass linkerhand das Symbol [mm] $\|.\|=\|.\|_2$ [/mm] die (euklidische)
Norm auf [mm] $\IR^{\red{m}}$ [/mm] ist, und rechterhand ist es aber die (euklidische) auf [mm] $\IR^n\,.$
[/mm]
Mach' ich das deutlicher, indem ich die (euklidische) Norm auf jedem [mm] $\IR^\ell$ [/mm] mit [mm] $_{(\ell)\!}\|.\|=_{(\ell)\!}\|.\|_2$ [/mm]
notiere, so steht also oben:
Prüfe also nun, ob es eine Konstante [mm] $L>0\,$ [/mm] so gibt, dass für alle $x,y [mm] \in \IR^n$ [/mm] gilt
[mm] $$_{(m)\!}\|f_A(x)-f_A(y)\| \le _{(n)\!\!\!}\|x-y\|\,.$$
[/mm]
Und - wie in der Aufgabe gesagt wurde - Du musst das L, wenn ein solches
denn existiert, nicht minimal wählen. Du wirst, wenn Du eines gefunden
hast, automatisch unendlich viele gefunden haben: Denn wenn L > 0 geeignet
ist, dann ist auch jedes [mm] $\tilde{L} [/mm] > L$ geeignet!
Gruß,
Marcel
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