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| Aufgabe | | [mm] f(x)=\left\{\begin{matrix}
xy \bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2}, & \mbox{für (x,y) ungleich 0 } \\
0, & \mbox{für (x,y) ungleich 0}
\end{matrix}\right. [/mm] |
Ich habe mal eine Frage zu dieser Aufgabe. Ich soll hier die Stetigkeit berechnen. Ich habe schon die Lösung für diese Aufgabe.
Aber eine Frage hätte ich. Die Stetigkeit wurde mit Polarkoordinaten berechnet.
Wann erkennt man, das man mit Polarkoordinaten arbeiten muss? bzw ist es notwendig? Könnte ich diese Aufgabe auch ohne Polarkoordinaten berechnen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:05 Di 22.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f(x)=\left\{\begin{matrix}
xy \bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2}, & \mbox{für (x,y) ungleich 0 } \\
0, & \mbox{für (x,y) ungleich 0}
\end{matrix}\right.[/mm]
Es soll wohl f(0,0)=0 sein, stimmts ?
>
> Ich habe mal eine Frage zu dieser Aufgabe. Ich soll hier
> die Stetigkeit berechnen. Ich habe schon die Lösung für
> diese Aufgabe.
>
> Aber eine Frage hätte ich. Die Stetigkeit wurde mit
> Polarkoordinaten berechnet.
> Wann erkennt man, das man mit Polarkoordinaten arbeiten
> muss?
Müssen tust Du gar nix ! Bei obiger Aufgabe bieten sich Polarkoordinaten aber an, wegen [mm] x^2+y^2 [/mm] etc...
> bzw ist es notwendig? Könnte ich diese Aufgabe auch
> ohne Polarkoordinaten berechnen?
Ja. Es geht um die Stetigkeit von f in (0,0)
Es ist für (x,y) [mm] \ne [/mm] (0,0):
[mm] |f(x,y)|=|xy|*\bruch{|x^2-y^2|}{x^2+y^2} \le |xy|*\bruch{x^2+y^2}{x^2+y^2}=|xy|
[/mm]
Und jetzt sieht man: f(x,y) [mm] \to [/mm] 0 =f(0,0) für (x,y) [mm] \to [/mm] (0,0)
FRED
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Okay Danke. Ähm eine Sache hätte ich noch undzwar wenn im Zähler und Nenner [mm] x^2 y^2 [/mm] bzw [mm] x^2+y^2 [/mm] steht wendet man die Polarkoordinaten an um es einfacher zu schreiben und damit die Stetigkeit zu berechnen?
könnte man es so umgangsprachlich sagen?
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Hallo ellegance88,
> Okay Danke. Ähm eine Sache hätte ich noch undzwar wenn im
> Zähler und Nenner [mm]x^2 y^2[/mm] bzw [mm]x^2+y^2[/mm] steht wendet man
> die Polarkoordinaten an um es einfacher zu schreiben und
> damit die Stetigkeit zu berechnen?
Na, das kann man doch so pauschal nicht sagen. Es hängt doch viel davon ab, was du nachher kürzen kannst bzw. wie sich das nachher vereinfacht.
[mm] $x^2y^2$ [/mm] ergibt [mm] $r^4\sin^2(\varphi)\cos^2(\varphi)$ [/mm] und [mm] $x^2+y^2$ [/mm] ergibt [mm] $r^2$
[/mm]
Letzlich hängt es davon ab, ob du von dem Term in Polarkoordinaten (leicht) zeigen kannst, dass die Chose unabhängig vom Winkel [mm] $\varphi$ [/mm] konvergiert ...
Oder es gibt dir umgekehrt einen Hinweis auf Nichtstetigkeit, so dass du dann an das Folgenkriterium denken kannst ...
Aber ein "Allheilmittel" oder "Patrentrezept" gibt es nicht.
Oft hilft Probieren - schadet ja auch nix 
> könnte man es so umgangsprachlich sagen?
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:47 Di 22.01.2013 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu schachu,
eine Anmerkung zu deiner Antwort:
> Letzlich hängt es davon ab, ob du von dem Term in Polarkoordinaten (leicht) zeigen kannst, dass die Chose unabhängig vom Winkel [mm]\varphi[/mm] konvergiert ...
Das könnte suggerieren, dass der Winkel zwar beliebig, aber fest ist. Dem muss ja aber nicht so sein.
Korrekt wäre hier also zu sagen, dass der Term "unabhängig von der Folge der Winkel konvergiert".
MFG,
Gono.
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