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| Aufgabe | Untersuchen Sie die nachstehenden Funktionen auf Stetigkeit:
a) [mm] $f_1:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R},x=(x_1,x_2)'\mapsto\begin{cases}\frac{x_1x_2^3}{(x_1^2+x_2^2)^2}, x\neq 0\\ \quad \ \ 0,\quad \, \, x=0\\ \end{cases}$
[/mm]
b) [mm] $f_2:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R},x=(x_1,x_2)'\mapsto\begin{cases}\frac{x_1^3x_2^2}{(x_1^2+x_2^2)^2}, x\neq 0\\ \quad \ \ 0,\quad \, \, x=0\\ \end{cases}$
[/mm]
Hinweis: Für die Untersuchung im Ursprung führen Sie dir Polarkoordinaten ein. |
Hallo zusammen,
ich arbeite gerade an der oben stehenden Aufgabe, aber stehe irgendwie auf dem schlauch, weiß nicht genau wie anfangen.
Freue mich über jeden Tipp.
Vielen Dank
Dudi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:03 Mo 30.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen Sie die nachstehenden Funktionen auf
> Stetigkeit:
> a)
> [mm]f_1:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R},x=(x_1,x_2)'\mapsto\begin{cases}\frac{x_1x_2^3}{(x_1^2+x_2^2)^2}, x\neq 0\\ \quad \ \ 0,\quad \, \, x=0\\ \end{cases}[/mm]
>
> b)
> [mm]f_2:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R},x=(x_1,x_2)'\mapsto\begin{cases}\frac{x_1^3x_2^2}{(x_1^2+x_2^2)^2}, x\neq 0\\ \quad \ \ 0,\quad \, \, x=0\\ \end{cases}[/mm]
>
> Hinweis: Für die Untersuchung im Ursprung führen Sie dir
> Polarkoordinaten ein.
> Hallo zusammen,
> ich arbeite gerade an der oben stehenden Aufgabe, aber
> stehe irgendwie auf dem schlauch, weiß nicht genau wie
> anfangen.
Es dürfte klar sein, dass beide Funktionen in jedem x [mm] \in \IR^2 [/mm] \ {0} stetig sind.
Für x=(0,0) folge dem Hinweis. Untersuche also, ob
[mm] \limes_{r\rightarrow 0}f_i(rcos(t),rsin(t)) [/mm] existiert und mit [mm] f_i(0,0) [/mm] übereinstimmt.
FRED
> Freue mich über jeden Tipp.
> Vielen Dank
> Dudi
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> > Untersuchen Sie die nachstehenden Funktionen auf
> > Stetigkeit:
> > a)
> >
> [mm]f_1:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R},x=(x_1,x_2)'\mapsto\begin{cases}\frac{x_1x_2^3}{(x_1^2+x_2^2)^2}, x\neq 0\\ \quad \ \ 0,\quad \, \, x=0\\ \end{cases}[/mm]
> >
> > b)
> >
> [mm]f_2:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R},x=(x_1,x_2)'\mapsto\begin{cases}\frac{x_1^3x_2^2}{(x_1^2+x_2^2)^2}, x\neq 0\\ \quad \ \ 0,\quad \, \, x=0\\ \end{cases}[/mm]
>
> >
> > Hinweis: Für die Untersuchung im Ursprung führen Sie dir
> > Polarkoordinaten ein.
> > Hallo zusammen,
> > ich arbeite gerade an der oben stehenden Aufgabe, aber
> > stehe irgendwie auf dem schlauch, weiß nicht genau wie
> > anfangen.
>
>
> Es dürfte klar sein, dass beide Funktionen in jedem x [mm]\in \IR^2[/mm]
> \ {0} stetig sind.
>
> Für x=(0,0) folge dem Hinweis. Untersuche also, ob
>
> [mm]\limes_{r\rightarrow 0}f_i(rcos(t),rsin(t))[/mm] existiert und
> mit [mm]f_i(0,0)[/mm] übereinstimmt.
Aber wenn ich das bei [mm] $f_1$ [/mm] mache, dann sieht das ja wie folgt aus:
[mm] $f_1(r*\cos(t),r*\sin(t))=\frac{r*\cos(t)*r^3*\sin^3(t)}{(r^2*\cos^2(t)+r^2*\sin^2(t))^2}$
[/mm]
[mm] $=\frac{r^4*\cos(t)*\sin^3(t)}{r^4*\cos^4(t)+2r^4*\cos^2(t)*\sin^2(t)+r^4*\sin^4(t)}$
[/mm]
[mm] $=\frac{r^4*\cos(t)*\sin^3(t)}{r^4*(\cos^4(t)+2\cos^2(t)*\sin^2(t)+\sin^4(t)}$
[/mm]
$= [mm] \frac{\cos(t)*\sin^3(t)}{(\cos^4(t)+2\cos^2(t)*\sin^2(t)+\sin^4(t)}$
[/mm]
Hier kürzt sich das $r$ doch raus und somit gilt doch: [mm] $\lim_{r\to 0}f_1(r*\cos(t),r*\sin(t))=\frac{\cos(t)*\sin^3(t)}{(\cos^4(t)+2\cos^2(t)*\sin^2(t)+\sin^4(t)}$, [/mm] oder?
EDIT:
Oh, ich habe was übersehen:
[mm] $f_1(r*\cos(t),r*\sin(t))=\frac{\cos(t)*\sin^3(t)}{(\cos^4(t)+2\cos^2(t)*\sin^2(t)+\sin^4(t)}$
[/mm]
[mm] $=\frac{\cos(t)*\sin^3(t)}{(\cos^2(t)+\sin^2(t))^2}$
[/mm]
Da [mm] $\cos^2(t)+\sin^2(t)=1$ [/mm] gilt:
[mm] $=\cos(t)*\sin^3(t)$
[/mm]
Aber wirklich weiter bringt mich das leider noch nicht :-/
EDIT:
Okay, ich denk ich habs:
Da [mm] $\cos(t)*\sin^3(t)$ [/mm] winkelabhängig ist, ist [mm] $f_1$ [/mm] im Ursprung nicht stetig. Da z.b. gilt: [mm] $\cos(0)*\sin^3(0)=1*0=0$, [/mm] jedoch [mm] $\cos(\frac{\pi}{4})*sin^3(\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sqrt{2}}*\frac{1}{2*\sqrt{2}}=\frac{1}{4}\neq [/mm] 0$
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> FRED
>
> > Freue mich über jeden Tipp.
> > Vielen Dank
> > Dudi
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> > > Untersuchen Sie die nachstehenden Funktionen auf
> > > Stetigkeit:
> > > a)
> > >
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> [mm]f_1:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R},x=(x_1,x_2)'\mapsto\begin{cases}\frac{x_1x_2^3}{(x_1^2+x_2^2)^2}, x\neq 0\\ \quad \ \ 0,\quad \, \, x=0\\ \end{cases}[/mm]
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> > > b)
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> [mm]f_2:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R},x=(x_1,x_2)'\mapsto\begin{cases}\frac{x_1^3x_2^2}{(x_1^2+x_2^2)^2}, x\neq 0\\ \quad \ \ 0,\quad \, \, x=0\\ \end{cases}[/mm]
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> > > Hinweis: Für die Untersuchung im Ursprung führen Sie dir
> > > Polarkoordinaten ein.
> > > Hallo zusammen,
> > > ich arbeite gerade an der oben stehenden Aufgabe,
> aber
> > > stehe irgendwie auf dem schlauch, weiß nicht genau wie
> > > anfangen.
> >
> >
> > Es dürfte klar sein, dass beide Funktionen in jedem x [mm]\in \IR^2[/mm]
> > \ {0} stetig sind.
> >
> > Für x=(0,0) folge dem Hinweis. Untersuche also, ob
> >
> > [mm]\limes_{r\rightarrow 0}f_i(rcos(t),rsin(t))[/mm] existiert und
> > mit [mm]f_i(0,0)[/mm] übereinstimmt.
>
Bei [mm] $f_2$ [/mm] sähe das dann wie folgt aus:
[mm] $f_2(r*\cos(t),r\sin(t))=\frac{r^3\cos^3(t)r^2\sin^2(t)}{r^4(\cos^2(t)+\sin^2(t)}$
[/mm]
[mm] $=r\cos^3(t)*\sin^2(t)$
[/mm]
Somit:
[mm] $\lim_{r\to 0}{f_2(r*\cos(t),r\sin(t))}=lim_{r\to 0}{r\cos^3(t)*\sin^2(t)}=0=f(0,0)$ [/mm]
Somit ist die Funktion im Ursprung stetig.
Passt das???
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> > FRED
> >
> > > Freue mich über jeden Tipp.
> > > Vielen Dank
> > > Dudi
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> > > > Untersuchen Sie die nachstehenden Funktionen auf
> > > > Stetigkeit:
> > > > b)
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> [mm]f_2:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R},x=(x_1,x_2)'\mapsto\begin{cases}\frac{x_1^3x_2^2}{(x_1^2+x_2^2)^2}, x\neq 0\\
\quad \ \ 0,\quad \, \, x=0\\
\end{cases}[/mm]
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> > > > Hinweis: Für die Untersuchung im Ursprung führen Sie dir
> > > > Polarkoordinaten ein.
> Bei [mm]f_2[/mm] sähe das dann wie folgt aus:
>
> [mm]f_2(r*\cos(t),r\sin(t))=\frac{r^3\cos^3(t)r^2\sin^2(t)}{r^4(\cos^2(t)+\sin^2(t)}[/mm]
> [mm]=r\cos^3(t)*\sin^2(t)[/mm]
> Somit:
> [mm]\lim_{r\to 0}{f_2(r*\cos(t),r\sin(t))}=lim_{r\to 0}{r\cos^3(t)*\sin^2(t)}=0=f(0,0)[/mm]
> Somit ist die Funktion im Ursprung stetig.
>
>
> Passt das???
Ja.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:05 Mo 30.04.2012 | | Autor: | DudiPupan |
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> > > > > Untersuchen Sie die nachstehenden Funktionen auf
> > > > > Stetigkeit:
>
> > > > > b)
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> [mm]f_2:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R},x=(x_1,x_2)'\mapsto\begin{cases}\frac{x_1^3x_2^2}{(x_1^2+x_2^2)^2}, x\neq 0\\
\quad \ \ 0,\quad \, \, x=0\\
\end{cases}[/mm]
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> > > > > Hinweis: Für die Untersuchung im Ursprung führen Sie dir
> > > > > Polarkoordinaten ein.
>
> > Bei [mm]f_2[/mm] sähe das dann wie folgt aus:
> >
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> [mm]f_2(r*\cos(t),r\sin(t))=\frac{r^3\cos^3(t)r^2\sin^2(t)}{r^4(\cos^2(t)+\sin^2(t)}[/mm]
> > [mm]=r\cos^3(t)*\sin^2(t)[/mm]
> > Somit:
> > [mm]\lim_{r\to 0}{f_2(r*\cos(t),r\sin(t))}=lim_{r\to 0}{r\cos^3(t)*\sin^2(t)}=0=f(0,0)[/mm]
> > Somit ist die Funktion im Ursprung stetig.
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> > Passt das???
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> Ja.
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> LG Angela
Vielen Dank :)
lG
Dudi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:33 Mo 30.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
dein edit ist richtig
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:05 Mo 30.04.2012 | | Autor: | DudiPupan |
Vielen Dank :)
lG Dudi
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