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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:52 Mo 09.04.2012 | | Autor: | DM08 |
Hi, ich beschäftige mich gerade mit der Stetigkeit. Leider haben wir kein Besipiel mit Skript und deshalb nehme ich ein Beispiel aus einem Buch.
[mm] $f(x,y)=\bruch{xy}{\sqrt{|x|+y^2}}, [/mm] falls (x,y) !=(0,0)
0, falls (x,y)=(0,0)
Ich hoffe, dass man versteht was ich meine..
Nun will ich prüfen ob die Funktion f in (0,0) stetig ist. Ich kenne beide Definitionen. Die Epsilon-Delta und auch die mit der Folgen. Meine Frage : Wie geht es meistens schneller ? Solche Aufgaben werden meistens im Verständnisteil gefragt und sollen immer mit einem Satz beantwortet werden. Also, wie zeige ich das mit einem Satz ? Hoffe, dass ihr mir da helfen könnt.
Gruß
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Hallo DM08,
> Hi, ich beschäftige mich gerade mit der Stetigkeit. Leider
> haben wir kein Besipiel mit Skript und deshalb nehme ich
> ein Beispiel aus einem Buch.
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> [mm]$f(x,y)=\bruch{xy}{\sqrt{|x|+y^2}},[/mm] falls (x,y) !=(0,0)
> 0, falls (x,y)=(0,0)
>
> Ich hoffe, dass man versteht was ich meine..
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> Nun will ich prüfen ob die Funktion f in (0,0) stetig ist.
> Ich kenne beide Definitionen. Die Epsilon-Delta und auch
> die mit der Folgen. Meine Frage : Wie geht es meistens
> schneller ?
Na, das hängt immer von der Aufgabe ab. Das Folgenkrit. eignet sich ja eigentlich eher dafür, Stetigkeit zu widerlegen ...
> Solche Aufgaben werden meistens im
> Verständnisteil gefragt und sollen immer mit einem Satz
> beantwortet werden. Also, wie zeige ich das mit einem Satz
> ? Hoffe, dass ihr mir da helfen könnt.
*Ich* schaue mir bei dieser Art Aufgaben die Sache meist in Polarkoordinaten an, um einen "Eindruck" zu gewinnen, was an der krit. Stelle passiert.
Mit [mm]x=r\cos(\varphi)[/mm] und [mm]y=r\sin(\varphi)[/mm] hast du
[mm]f(r,\varphi)=\frac{r^2\sin(\varphi)\cos(\varphi)}{\sqrt{r|\cos(\varphi)|+r^2\sin^2(\varphi)}[/mm]
Für Stetigkeit müsste dieses Biest für [mm]r\to 0^+[/mm] gegen [mm]0[/mm] streben, und zwar unabhängig vom Winkel [mm]\varphi[/mm]
Analog zum Folgenkriterium bei Funktionen von [mm]\IR\to\IR[/mm] musst du Annäherungen an [mm](0,0)[/mm] aus belieber Richtung bzw. auf bel. "Schlingerkurs" (also unabh. vom Winkel) betrachten, und auf jedem "Weg" muss die Funktion sich [mm]f(0,0)=0[/mm] nähern.
Du musst hier also nicht nur die Richtungen entlang der x-Achse, also rechts- und linksseitig betracheten, sondern vieeeeel mehr.
Wenn du oben [mm]f(r,\varphi)[/mm] mal vereinfachst und [mm]r\to 0^+[/mm] gehen lässt, so strebt das nicht unabh. vom Winkel [mm]\varphi[/mm] gegen [mm]f(0,0)=0[/mm]
Da liegt es nahe, nach einer Folge [mm](x_n,y_n)_{n\in\IN}[/mm] zu suchen, die gegen [mm](0,0)[/mm] strebt (für [mm]n\to\infty[/mm]), wo aber [mm]f(x_n,y_n)[/mm] nicht gegen [mm]f(0,0)=0[/mm] strebt.
Meist tun es sehr einfache Folgen ...
Da muss man immer etwas basteln ...
>
> Gruß
LG
schachuzipus
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Hallo nochmal,
sorry DM08, aber gestern stand ich wohl unter zuviel Ostereierdioxineinfluss:
Es ist [mm]\left|\frac{xy}{\sqrt{|x|+y^2}}\right| \ \le \ \left|\frac{xy}{\sqrt{y^2}}\right| \ = \ |\operatorname{sgn}(y)\cdot{}x|[/mm], also [mm]\left|\frac{xy}{\sqrt{|x|+y^2}}\right| \ \le \ |x|[/mm]
Und das strebt für [mm]x\to 0[/mm] gegen 0, damit hast du doch Stetigkeit.
Tut mir leid, dass ich gestern diesen Mist verzapft habe ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:40 Di 10.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo nochmal,
>
> sorry DM08, aber gestern stand ich wohl unter zuviel
> Ostereierdioxineinfluss:
>
> Es ist [mm]\frac{xy}{\sqrt{|x|+y^2}} \ \le \ \frac{xy}{\sqrt{y^2}} \ = \ \operatorname{sgn}(y)\cdot{}x[/mm],
Hallo schachuzipus,
Das Dioxin ist wohl noch nicht ganz abgebaut ....
Da oben hast Du wohl Beträge vergessen
Nachösterliche Grüße
FRED
> also [mm]\left|\frac{xy}{\sqrt{|x|+y^2}}\right| \ \le \ |x|[/mm]
>
> Und das strebt für [mm]x\to 0[/mm] gegen 0, damit hast du doch
> Stetigkeit.
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> Tut mir leid, dass ich gestern diesen Mist verzapft habe
> ...
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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Moin Fred,
> Das Dioxin ist wohl noch nicht ganz abgebaut ....
*gagagagaga* wie kommst du darauf? *lall*
>
> Da oben hast Du wohl Beträge vergessen
![[pfeif]](/images/smileys/pfeif.gif "[pfeif]")
wo?
![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]")
Danke fürs Aufpassen!
>
> Nachösterliche Grüße
Die gebe ich gerne zurück!
>
> FRED
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>
> > also [mm]\left|\frac{xy}{\sqrt{|x|+y^2}}\right| \ \le \ |x|[/mm]
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:21 Do 12.04.2012 | | Autor: | DM08 |
Danke euch, mal wieder =)
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