Stetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Betrachten Sie die Funktion f: [mm] \IR^{2} \to \IR
[/mm]
f(x,y) = [mm] (xy)^{-\bruch{1}{3}} [/mm] (exp(xy)-1) für xy [mm] \not= [/mm] 0;
f(x,y) = 0 für xy=0
Untersuchen Sie diese Funktion auf Stetigkeit, partielle Differenzierbarkeit und totale Differenzierbarkeit. |
Die Funktion ist ja für alle xy [mm] \not= [/mm] 0 stetig, da sie eine Verknüpfung von stetigen Funktionen ist.
Doch für xy=0 steh ich grad ein bisschen auf dem Schlauch.
Für eine Funktion mit einer Unbekannten berechnet man ja den links und den rechtseitigen Grenzwert. Wie macht man es bei einer mehrdimensionalen Funktion?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:55 Di 15.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Betrachten Sie die Funktion f: [mm]\IR^{2} \to \IR[/mm]
> f(x,y) =
> [mm](xy)^{-\bruch{1}{3}}[/mm] (exp(xy)-1) für xy [mm]\not=[/mm] 0;
> f(x,y) = 0 für xy=0
>
> Untersuchen Sie diese Funktion auf Stetigkeit, partielle
> Differenzierbarkeit und totale Differenzierbarkeit.
> Die Funktion ist ja für alle xy [mm]\not=[/mm] 0 stetig, da sie
> eine Verknüpfung von stetigen Funktionen ist.
>
> Doch für xy=0 steh ich grad ein bisschen auf dem
> Schlauch.
> Für eine Funktion mit einer Unbekannten berechnet man ja
> den links und den rechtseitigen Grenzwert. Wie macht man es
> bei einer mehrdimensionalen Funktion?
Diese Aufgabe hatten wir kürzlich schon mal. Ist f wirklich so definiert ?
Was soll [mm] (xy)^{-\bruch{1}{3}} [/mm] sein, falls xy<0 ist ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:28 Di 15.11.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Fred,
> Was soll [mm](xy)^{-\bruch{1}{3}}[/mm] sein, falls xy<0 ist ?
Was spricht gegen [mm] (xy)^{-\bruch{1}{3}}=\bruch{1}{sgn(xy)*\wurzel[3]{|xy|}}=\bruch{sgn(xy)}{|xy|^{\bruch{1}{3}}} [/mm] ?
Grüße
reverend
(edit: Toll. LaTeX hat keine Signumfunktion)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:35 Di 15.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> > Was soll [mm](xy)^{-\bruch{1}{3}}[/mm] sein, falls xy<0 ist ?
>
> Was spricht gegen
> [mm](xy)^{-\bruch{1}{3}}=\bruch{1}{sgn(xy)*\wurzel[3]{|xy|}}=\bruch{sgn(xy)}{|xy|^{\bruch{1}{3}}}[/mm]
Hallo rev,
der Hintergrund meiner Frage ist der: im Reellen def. man [mm] \wurzel[n]{a} [/mm] nur für Zahlen a [mm] \ge [/mm] 0 und es ist [mm] \wurzel[n]{a} \ge0.
[/mm]
Gruß FRED
> ?
>
> Grüße
> reverend
>
> (edit: Toll. LaTeX hat keine Signumfunktion)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:40 Di 15.11.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Fred,
>> [mm](xy)^{-\bruch{1}{3}}=\bruch{1}{sgn(xy)*\wurzel[3]{|xy|}}=\bruch{sgn(xy)}{|xy|^{\bruch{1}{3}}}[/mm]
>
> der Hintergrund meiner Frage ist der: im Reellen def. man
> [mm]\wurzel[n]{a}[/mm] nur für Zahlen a [mm]\ge[/mm] 0 und es ist
> [mm]\wurzel[n]{a} \ge0.[/mm]
Ja, klar. Aber die obige Erweiterung ist doch auch gängig, um die Umkehrfunktion von [mm] f(x)=x^{2k-1} [/mm] bilden zu können, bzw. hier den Kehrwert davon. Natürlich müsste man die Erweiterung korrekterweise angeben, was die Aufgabe nicht tut.
Grüße
rev
|
|
|
| |
|
Hallo Bleistiftkauer,
> Betrachten Sie die Funktion f: [mm]\IR^{2} \to \IR[/mm]
> f(x,y) =
> [mm](xy)^{-\bruch{1}{3}}[/mm] (exp(xy)-1) für xy [mm]\not=[/mm] 0;
> f(x,y) = 0 für xy=0
>
> Untersuchen Sie diese Funktion auf Stetigkeit, partielle
> Differenzierbarkeit und totale Differenzierbarkeit.
> Die Funktion ist ja für alle xy [mm]\not=[/mm] 0 stetig, da sie
> eine Verknüpfung von stetigen Funktionen ist.
>
> Doch für xy=0 steh ich grad ein bisschen auf dem
> Schlauch.
> Für eine Funktion mit einer Unbekannten berechnet man ja
> den links und den rechtseitigen Grenzwert. Wie macht man es
> bei einer mehrdimensionalen Funktion?
Aus dem Fall xy=0 ergeben sich 2 Fälle:
i) [mm]x=0, y \not=0[/mm]
ii)[mm]y=0, x \not=0[/mm]
Berechne daher zunächst
[mm]\limes_{x \to 0}f\left(x,y\right)[/mm]
[mm]\limes_{y\to 0}f\left(x,y\right)[/mm]
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Es gilt dafür:
[mm] \limes_{x \rightarrow 0} [/mm] f(x,y) = [mm] \limes_{y \rightarrow 0} [/mm] f(x,y) = 0
Für diesen Fall gilt ja auch f(x,y) = 0 (für xy=0).
Folgt daraus schon die Stetigkeit für xy=0?
|
|
|
| |
|
Hallo Bleistiftkauer,
> Es gilt dafür:
>
> [mm]\limes_{x \rightarrow 0}[/mm] f(x,y) = [mm]\limes_{y \rightarrow 0}[/mm]
> f(x,y) = 0
>
> Für diesen Fall gilt ja auch f(x,y) = 0 (für xy=0).
>
> Folgt daraus schon die Stetigkeit für xy=0?
Genauer musst Du zeigen, daß links- und rechtsseitiger Limes übereinstimmen.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Also muss ich für x [mm] \to [/mm] 0 und y [mm] \to [/mm] 0 jeweils den links und rechtsseitigen Grenzwert berechnen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:25 Di 15.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Wir machen jetzt mal folgendes: wir untersuchen ob f in [mm] (x_0,0) [/mm] stetig ist.
Dazu betrachte
[mm] \limes_{(x,y) \rightarrow (x_0,0)}f(x,y).
[/mm]
Für xy [mm] \ne [/mm] 0 ist f(x,y) = [mm] \bruch{e^{xy}-1}{(xy)^{1/3}}= \bruch{e^{xy}-1}{xy}* \bruch{xy}{(xy)^{1/3}}= \bruch{e^{xy}-1}{xy}*(xy)^{2/3}
[/mm]
Wenn (x,y) [mm] \to (x_0,0) [/mm] geht, dann geht xy [mm] \to [/mm] 0. Damit haben wir: [mm] (xy)^{2/3} \to [/mm] 0.
Was macht [mm] \bruch{e^{xy}-1}{xy} [/mm] für xy [mm] \to [/mm] o ?
Was ergibt sich dann für [mm] \limes_{(x,y) \rightarrow (x_0,0)}f(x,y) [/mm] ?
FRED
|
|
|
|
