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| Aufgabe | | Sei f:]0;1] [mm] \to \IR [/mm] eine stetige Funktion. Man zeige, dass f genau dann gleichmäßig stetig ist, falls [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0^{+}} [/mm] f(x) existiert. |
Meine Idee:
" [mm] \Rightarrow [/mm] ":
Vor: f ist gleichmäßig stetig
[mm] \forall \varepsilon [/mm] >0 [mm] \exists \delta [/mm] >0 [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] D: | x-y|< [mm] \delta \Rightarrow [/mm] |f(x)-f(y)|< [mm] \varepsilon
[/mm]
also gilt auch:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] >0 [mm] \exists \delta [/mm] >0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [0;0+ [mm] \delta [/mm] [ [mm] \cap [/mm] D: |f(x)-f(y)|< [mm] \varepsilon
[/mm]
also ex. der rechtsseitige Grenzwert.
" [mm] \Leftarrow [/mm] ":
Vor.: [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0^{+}} [/mm] f(x) existiert
Und hier häng ich gerade :( Über eine kleine Hilfe würde ich mich sehr freuen.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Huhu,
existiert der rechtsseitige Grenzwert an Null, so lässt sich f zu einer stetigen Funktion [mm] \overline{f} [/mm] auf [0,1] erweitern (wie)
Nun ist [mm] \overline{f} [/mm] eine stetige Funktion auf einem kompakten Intervall.... nun du mal weiter.
MFG,
Gono.
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