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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:59 Di 26.04.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo!
Ich verstehe bei dieser Aufgabe nicht, wie ich vorgehen soll. Ich hoffe, ihr könnt mir hier weiterhelfen. Danke!
Aufgabe:
Sei L: [mm] \IR^{n} \to \IR^{m} [/mm] eine lineare Funktion.
(a) Zeige, dass L stetig ist.
(b) Damit sind insbesondere die Projektionen
[mm] \pi_{i}: \IR^{n} \to \IR
[/mm]
[mm] \pi_{i} (x_{1}, [/mm] ..., [mm] x_{n}) [/mm] = [mm] x_{i}, [/mm] i = 1, ..., n stetig.
zu (a) Ich arbeite hier mit [mm] (\parallel \circ \parallel)_{\infty} [/mm] (Maximumnorm) auf [mm] \IR^{n}. [/mm] --> bzgl. Standardtopologie.
Wenn L stetig sein soll, muss folgendes gelten:
[mm] \forall (x_{1}, [/mm] ..., [mm] x_{n}) \in \IR^{n} \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0 [mm] \forall ((x*)_{1}, [/mm] ..., [mm] (x*)_{n}) \in \IR^{n}: [/mm]
[mm] (\parallel (x_{1}, [/mm] ..., [mm] x_{n}) [/mm] - [mm] ((x*)_{1}, [/mm] ..., [mm] (x*)_{n}) \parallel)_{\infty} [/mm] < [mm] \delta \Rightarrow [/mm] |L [mm] (x_{1}, [/mm] ..., [mm] x_{n}) [/mm] - L [mm] ((x*)_{1}, [/mm] ..., [mm] (x*)_{n})| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]
Sei [mm] (x_{1}, [/mm] ..., [mm] x_{n}) \in \IR^{n} [/mm] und [mm] \varepsilon [/mm] > 0.
Man setze [mm] \delta [/mm] = [mm] \bruch{\varepsilon}{\wurzel{m}}
[/mm]
Nun sei [mm] ((x*)_{1}, [/mm] ..., [mm] (x*)_{n}) \in \IR^{n} [/mm] mit [mm] (\parallel (x_{1}, [/mm] ..., [mm] x_{n}) [/mm] - [mm] ((x*)_{1}, [/mm] ..., [mm] (x*)_{n}) \parallel)_{\infty} [/mm] < [mm] \delta [/mm] ,
d.h. [mm] |x_{1}-(x*)_{1}| [/mm] < [mm] \delta, [/mm] ... , [mm] |x_{n}-(x*)_{n}| [/mm] < [mm] \delta.
[/mm]
(**) Dann gilt:
|L [mm] (x_{1}, [/mm] ..., [mm] x_{n}) [/mm] - L [mm] ((x*)_{1}, [/mm] ..., [mm] (x*)_{n})| [/mm] = [mm] |(x_{1}, [/mm] ..., [mm] x_{m}) -((x*)_{1}, [/mm] ..., [mm] (x*)_{n})| [/mm] = [mm] |(x_{1}-(x*)_{1}), [/mm] ... , [mm] (x_{m}-(x*)_{m})| [/mm]
[mm] \le \wurzel{m \delta^{2}} [/mm] = [mm] \delta \wurzel{m} [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm]
Also ist L stetig. Stimmt mein Beweis so?
(b) [mm] \pi_{i}: \IR^{n} \to \IR
[/mm]
[mm] \pi_{i} (x_{1}, [/mm] ..., [mm] x_{n}) [/mm] = [mm] x_{i}, [/mm] i = 1, ..., n stetig.
Hier bin ich genauso am Anfang vorgegangen wie bei (a), bis zu (**).
Bloß setzt man jetzt [mm] \delta [/mm] = [mm] \varepsilon.
[/mm]
Nun sei [mm] |\pi_{i} (x_{1}, [/mm] ..., [mm] x_{n}) [/mm] - [mm] \pi_{i} ((x*)_{1}, [/mm] ..., [mm] (x*)_{n})| [/mm] = [mm] |x_{i}-(x*)_{i}| [/mm] < [mm] \delta [/mm] = [mm] \varepsilon.
[/mm]
Fertig! ist mein beweis zu b richtig? Ich hoffe schon! 
Wenn was falsch sein sollte, bitte ich euch um Verbesserung! Danke!
VHN
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:12 Mi 27.04.2005 | | Autor: | Astrid |
Hallo,
> Aufgabe:
> Sei L: [mm]\IR^{n} \to \IR^{m}[/mm] eine lineare Funktion.
> (a) Zeige, dass L stetig ist.
> (b) Damit sind insbesondere die Projektionen
> [mm]\pi_{i}: \IR^{n} \to \IR[/mm]
> [mm]\pi_{i} (x_{1},[/mm] ..., [mm]x_{n})[/mm] =
> [mm]x_{i},[/mm] i = 1, ..., n stetig.
>
> zu (a) Ich arbeite hier mit [mm](\parallel \circ \parallel)_{\infty}[/mm]
> (Maximumnorm) auf [mm]\IR^{n}.[/mm] --> bzgl. Standardtopologie.
Hast du den Hinweis bekommen, die Maximumsnorm zu nehmen oder wieso möchtest du diese anwenden?
> Wenn L stetig sein soll, muss folgendes gelten:
> [mm]\forall (x_{1},[/mm] ..., [mm]x_{n}) \in \IR^{n} \forall \varepsilon[/mm]
> > 0 [mm]\exists \delta[/mm] > 0 [mm]\forall ((x*)_{1},[/mm] ..., [mm](x*)_{n}) \in \IR^{n}:[/mm]
> [mm](\parallel (x_{1},[/mm] ..., [mm]x_{n})[/mm] - [mm]((x*)_{1},[/mm] ..., [mm](x*)_{n}) \parallel)_{\infty}[/mm]
> < [mm]\delta \Rightarrow[/mm] |L [mm](x_{1},[/mm] ..., [mm]x_{n})[/mm] - L [mm]((x*)_{1},[/mm]
> ..., [mm](x*)_{n})|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Sei [mm](x_{1},[/mm] ..., [mm]x_{n}) \in \IR^{n}[/mm] und [mm]\varepsilon[/mm] > 0.
> Man setze [mm]\delta[/mm] = [mm]\bruch{\varepsilon}{\wurzel{m}}[/mm]
> Nun sei [mm]((x*)_{1},[/mm] ..., [mm](x*)_{n}) \in \IR^{n}[/mm] mit
> [mm](\parallel (x_{1},[/mm] ..., [mm]x_{n})[/mm] - [mm]((x*)_{1},[/mm] ..., [mm](x*)_{n}) \parallel)_{\infty}[/mm]
> < [mm]\delta[/mm] ,
> d.h. [mm]|x_{1}-(x*)_{1}|[/mm] < [mm]\delta,[/mm] ... , [mm]|x_{n}-(x*)_{n}|[/mm] <
> [mm]\delta.[/mm]
>
> (**) Dann gilt:
> |L [mm](x_{1},[/mm] ..., [mm]x_{n})[/mm] - L [mm]((x*)_{1},[/mm] ..., [mm](x*)_{n})|[/mm] =
> [mm]|(x_{1},[/mm] ..., [mm]x_{m}) -((x*)_{1},[/mm] ..., [mm](x*)_{n})|[/mm] =
> [mm]|(x_{1}-(x*)_{1}),[/mm] ... , [mm](x_{m}-(x*)_{m})|[/mm]
> [mm]\le \wurzel{m \delta^{2}}[/mm] = [mm]\delta \wurzel{m}[/mm] = [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Also ist L stetig. Stimmt mein Beweis so?
Wo ist denn deine Abbildung $L$ geblieben?
[mm]||L(x)-L(x')||=||L(x-x')||[/mm] bzw.
[mm]||L (x_1, ...,x_n)-L (x'_1,...,x'_n)||=||L(x_1-x'_1,... ,x_n-x'_n)||[/mm]
aber
[mm]\not=||(x_{1},..., x_{m}) -(x'_1,...,x'_n)||[/mm]
denn du kennst die genaue Abbildungsvorschrift von L ja nicht!
Ich habe es noch nicht durchgerechnet, aber vielleicht funktioniert ja das Limes-Argument [mm] ($(x_n)_n \to [/mm] x$ für $n [mm] \to \infty$ $\Rightarrow L(x_n) \to [/mm] L(x)$ für $n [mm] \to \infty$) [/mm] besser?
>
> (b) [mm]\pi_{i}: \IR^{n} \to \IR[/mm]
> [mm]\pi_{i} (x_{1},[/mm] ..., [mm]x_{n})[/mm] =
> [mm]x_{i},[/mm] i = 1, ..., n stetig.
>
Teil b) kannst du dann direkt aus Teil a folgern, da ja die Projektionen auf die i-te Komponente lineare Abbildungen sind. Dafür mußt du den Beweis in a) allgemein führen.
Hilft dir das etwas?
Viele Grüße
Astrid
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Hallo!
Im Prinzip stimme ich der Antwort von Astrid vollkommen zu, möchte jedoch noch etwas ergänzen:
Zum einen ist im Prinzip vollkommen egal, welche Norm du nimmst, da im Endlichdimesionalen ohnehin alle Normen äquivalent sind.
Dann ist es ersteinmal sinnvoll zu zeigen, dass $L$ beschränkt ist, also: [mm] $\|x\|\le 1\Rightarrow \|Lx\|\le [/mm] C$ für ein $C>0$. Jetzt kannst du [mm] $\delta:=\varepsilon/C$ [/mm] setzen!
Dann gilt nämlich für [mm] $\|x-y\|<\delta$: $\|Lx-Ly\|=\|L(x-y)\|=\bruch{\varepsilon}{C}\left\| L\left(\bruch{x-y}{\varepsilon/C} \right)\right\|< \bruch{\varepsilon}{C}*C=\varepsilon$.
[/mm]
Gruß, banachella
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