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| Aufgabe | Sei a R und sei die Abbildung [mm] f_a:\IR²\mapsto\IR [/mm] wie folgt definiert:
[mm] f_a(x,y):=\begin{cases} xy / (x² + y²), & \mbox{für } x²+y²\not= 0 \mbox{ } \\ a, & \mbox{für } x²+y² = 0 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Untersuchen Sie die fa auf Stetigkeit. Gibt es ein a R, so daß fa überall stetig ist? |
Hi! Ich hab hab obige Aufgabe vor mir inkl. Lösungen liegen. Allerdings versteh ich die auch nicht richtig. Nachdem ich sämtliche Bücher durchsucht hab und ich auf kein Ergebnis gekommen bin, stell ich meine Frage hier hinein. Wie beweist man ganz allgemein die Stetigkeit bei mehreren Veränderlichen? Wär super, wenn ihr mir da weiterhelfen könntet :) Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:47 Di 23.09.2008 | | Autor: | fred97 |
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Sei a R und sei die Abbildung fa: R² -> R wie folgt
> definiert:
> fa (x,y):= {xy / x² + y², falls [mm] x²+y²\not= [/mm] 0}
> {a, falls x²+y² = 0}
>
> Untersuchen Sie die fa auf Stetigkeit. Gibt es ein a R,
> so daß fa überall stetig ist?
> Hi! Ich hab hab obige Aufgabe vor mir inkl. Lösungen
> liegen. Allerdings versteh ich die auch nicht richtig.
> Nachdem ich sämtliche Bücher durchsucht hab und ich auf
> kein Ergebnis gekommen bin, stell ich meine Frage hier
> hinein. Wie beweist man ganz allgemein die Stetigkeit bei
> mehreren Veränderlichen? Wär super, wenn ihr mir da
> weiterhelfen könntet :) Viele Grüße
Wir können uns auf Funktionen mit 2 Variablen beschränken.
Sei D [mm] \subseteq \IR^2 [/mm] und f:D --> [mm] \IR [/mm] eine Funktion. Ist [mm] (x_0,y_0) \in [/mm] D,so heißt f stetig in diesem Punkt, falls für jede Folge [mm] ((x_n,y_n)) [/mm] in D mit [mm] (x_n,y_n)) [/mm] --> [mm] (x_0,y_0) [/mm] gilt f [mm] ((x_n,y_n)) [/mm] --> [mm] f(x_0,y_0)
[/mm]
Nun zu Deiner Funktion. Nimm mal die Folge (1/n,1/n). Diese strebt gegen (0,0). Es ist f(1/n,1/n) = 1/2 --> 1/2
Nimmst Du aber die Folge (1/n,0), so strebt diese ebenfalls gegen (0,0),
und f(1/n,0) = 0 --> 0
D.h. wie immer Du auch a wählst, fist in (0,0) nicht stetig
FRED
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Hi! Danke für die Antwort :)! Jedoch rechnen wir das irgendwie mit einem anderen Verfahren. So wird in der Lösung zunächst der [mm] \limes_{x\rightarrow 0}f(x,x)=1/2 [/mm] gebildet und danach der [mm] \limes_{x\rightarrow 0}f(0,y) [/mm] gebildet.. Dadurch dass sie unterschiedlich sind soll man nun sehen, dass die Funktion in (0,0) unstetig ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:05 Di 23.09.2008 | | Autor: | fred97 |
Das hab ich doch im wesentlichen auch so gemacht:
wenn Du Dich auf der Winkelhalbierenden der Stelle (0,0) näherst, strebt f gegen 1/2, wenn Du Dich aber auf denh Koordinatenachsen der Stelle (0,0) näherst, strebt f gegen 0.
Stetigkeit in (0,0) bedeutet anschaulich: egal auf welchem Wege Du Dich der Stelle (0,0) näherst, f strebt immer gegen f(0,0). Das ist oben aber nicht der Fall.
FRED
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