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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:25 Fr 27.06.2008 | | Autor: | Dave11 |
Guten Abend zusammen , ich bereite mich gerade auf meine Analysis 2
Klausur vor und wollte mal fragen ob ich folgende Aufgabe richtig
gelöst habe:
Sei [mm] f:\IR^2 \to \IR [/mm] gegeben durch:
[mm] f(x)=\left\{\begin{matrix}
\bruch{x^3}{x^2+y^2}, (x,y) \not=0 \\
0, sonst\end{matrix}\right. [/mm]
Also es gilt ja dann : f ist stetig in 0 [mm] \gdw
[/mm]
[mm] \forall \varepsilon>0 \exists \delta>0 \forall [/mm] x [mm] \in \IR^2 [/mm] mit [mm] ||x-0||<\delta \Rightarrow [/mm] ||f(x)-f(0)||< [mm] \varepsilon
[/mm]
Also
[mm] ||f(x,y)||=||\bruch{x^3}{x^2+y^2}|| \le ||\bruch{x^3}{x^2}||=||x||<\bruch{1}{2}\varepsilon<\varepsilon
[/mm]
für [mm] ||x||<\delta [/mm] := [mm] \bruch{1}{2}\varepsilon
[/mm]
Könnte mir jemand sagen ob das so richtig ist, oder ob ich
hier totalen Blödsinn mache....wäre sehr nett von euch...
Danke schonmal
MFG Dennis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:05 Fr 27.06.2008 | | Autor: | pelzig |
> Sei [mm]f:\IR^2 \to \IR[/mm] gegeben durch:
>
> [mm]f(x)=\left\{\begin{matrix}
\bruch{x^3}{x^2+y^2}, (x,y) \not=0 \\
0, sonst\end{matrix}\right.[/mm]
>
> Also es gilt ja dann : f ist stetig in 0 [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]\forall \varepsilon>0 \exists \delta>0 \forall[/mm] x [mm]\in \IR^2[/mm]
> mit [mm]||x-0||<\delta \Rightarrow[/mm] ||f(x)-f(0)||< [mm]\varepsilon[/mm]
Richtig.
> [mm]||f(x,y)||=||\bruch{x^3}{x^2+y^2}|| \le ||\bruch{x^3}{x^2}||=||x||<\bruch{1}{2}\varepsilon<\varepsilon[/mm]
>
> für [mm]||x||<\delta[/mm] := [mm]\bruch{1}{2}\varepsilon[/mm]
Richtig umgeformt, aber das ist nicht die Stetigkeit im Punkt 0!
Beachte dass in diesem Fall das Paar [mm] $(x,y)\in\IR^2$ [/mm] ist, oben hast du [mm] $x\in\IR^2$ [/mm] geschrieben und dich damit selbst durcheinander gebracht. Um die Stetigkeit nachzuweisen müsste also jetzt da stehen: [mm] $$...<\varepsilon\text{ für }\sqrt{x^2+y^2}<\delta(\varepsilon):=...$$
[/mm]
D.h. was du oben mit [mm] $\parallel x\parallel$ [/mm] bezeichnet hast, ist nun die euklidische Norm [mm] $\sqrt{x^2+y^2}$ [/mm] (oder irgend eine andere Norm auf [mm] $\IR^2$).
[/mm]
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:32 Fr 27.06.2008 | | Autor: | Dave11 |
Ach ja ich sehe meinen Fehler...:(
Es muss heissen:
[mm] \forall \varepsilon>0 \exists \delta>0 \forall (x,y)\in \IR^2 [/mm] mit [mm] ||(x,y)-(0,0)||<\delta \Rightarrow [/mm] ||f(x,y)-f(0,0)||< [mm] \varepsilon
[/mm]
Aber gilt nicht dass:
[mm] ||(x,y)||=\sqrt{x^2+y^2}<\sqrt{x^2}=|x|<\delta
[/mm]
Dann könnte es doch klappen???
MFG Dave
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:27 Sa 28.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Dave
Im Prinzip hast du recht, nur deine Ungleichung hast du falsch geschrieben: wähle
[mm] \wurzel{x^2+y^2}=\delta=\epsilon [/mm] dann hast du mit [mm] \wurzel{x^2+y^2}\le|x| [/mm] deinen Beweis fertig.
Hinweis: viele dieser Aufgaben gehen einfacher, wenn du mit x=rcost, y=rsint arbeitest [mm] x^2+y^2=r^2 [/mm] und zeigst, dass für r gegen 0 der GW unabhängig von t 0 ist. hier wär das [mm] r*cos^3t\le r=\delta=\epsilon.
[/mm]
Aber hier klappt dein Verfahren ja genauso schnell, der Hinweis ist also allgemeiner.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:53 Sa 28.06.2008 | | Autor: | Dave11 |
Könntest du mir das mit den Polarkoordinaten mal genauer aufschreiben??
Wäre schön wenn ich das einmal an einem Bsp sehe, damit ich
das dann in der Klausur fehlerfrei anwende....
Danke
MFG Dave
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:01 Sa 28.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dave!
Setze $x \ := \ [mm] r*\cos(t)$ [/mm] sowie $y \ := \ [mm] r*\sin(t)$ [/mm] in Deine vorgegebene Funktionsvorschrift ein und vereinfache.
Den "größten Trick" zum Vereinfachen hat Dir leduart ja schon genannt mit:
[mm] $$x^2+y^2 [/mm] \ = \ [mm] \left[r*\cos(t)\right]^2+\left[r*\sin(t)\right]^2 [/mm] \ = \ [mm] r^2*\cos^2(t)+r^2*\sin^2(t) [/mm] \ = \ [mm] r^2*\left[ \ \underbrace{\cos^2(t)+\sin^2(t)}_{= \ 1} \ \right] [/mm] \ = \ [mm] r^2$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:10 Sa 28.06.2008 | | Autor: | Dave11 |
Ok also
[mm] f(rcos(t),rsin(t))=\bruch{r^3cos^3(t)}{r^2cos^2(t)+r^2sin^2(t)}=rcos^3(t)
[/mm]
Jetzt :
[mm] \limes_{r\rightarrow 0}f(rcos(t),rsin(t))=0 \Rightarrow [/mm] f ist stetig in 0
Und dann bin ich fertig????
Gruß Dave
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:54 Sa 28.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dave!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Du solltest halt nur noch erwähnen, dass dieser Grenzwert $... \ = \ 0$ ist, für jedes beliebige $t_$ .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:04 Sa 28.06.2008 | | Autor: | Dave11 |
Danke dir Loddar,
hast mir sehr geholfen...
MFG Dave
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