Stetigkeit < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:05 Mi 03.10.2007 | | Autor: | Phecda |
hi in einem mathebuch hab ich gelesen:
eine beschränkte stetige Funktion ist über ein abgeschlossenes, beschränktes Intervall riemann-integrierbar.
Das heißt doch aber nicht dass eine integrierbare fkt im umkehrschluss stetig oder beschräkt ist. BSP. ein uneigntliches integral [mm] (1/x^2) [/mm] im I [0,2].
Also ist eine notwendige bedingung für rintegrierbar eine beschränkte stetige Fkt?
hab ich das richtig verstanden
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:26 Mi 03.10.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Das heißt doch aber nicht dass eine integrierbare fkt im
> umkehrschluss stetig oder beschräkt ist. BSP. ein
> uneigntliches integral [mm](1/x^2)[/mm] im I [0,2].
nein im allgemeinen nicht. allerdings greift dein gegenbeispiel nicht, da die funktionen auf dem intervall $I = [0, 2]$ nicht riemann-integrierbar ist (es ist [mm] $\textstyle{\int_0^2} \frac{1}{x^2} \, \textrm{d}x [/mm] = [mm] \infty$). [/mm] man könnte aber auf dem beschränkten abgeschlossenen intervall $I = [0,2]$ die funktion $f: I [mm] \longrightarrow \mathbb{R}$ [/mm] mit
[m] f(x) = \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{x}} & \textrm{ für } x \not= 0 \\ 0 & \textrm{ für } x = 0 \end{cases} [/m]
nehmen. diese ist auf $I$ riemann-integrierbar, aber weder stetig noch beschränkt.
> Also ist eine notwendige bedingung für rintegrierbar eine
> beschränkte stetige Fkt?
nein, das ist (auf einen abgeschlossenen, beschränkten intervall) eine hinreichende bedingung (das ist ja auch das was in dem mathebuch steht, welches du zitierst). notwendig kann sie ja nicht sein, da oben ein beispiel angegeben ist, welches diese bedingung nicht erfüllt, jedoch trotzdem riemann-integrierbar ist!
man kann sogar die forderung der beschränktheit an die funktion fallen lassen, da nach einem satz von weierstrass stetige funktionen auf beschränkten, abgeschlossenen mengen beschränkt sind.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 Mi 03.10.2007 | | Autor: | Phecda |
hi ja ok ich dachte bei [mm] 1/x^2 [/mm] kommt ne zahl raus für das uneigntliche integral.. naja egal ok dein bsp is auhc gut
aber jetzt muss ich zugebn dass ich iwie notwenig und hinreichend vertauscht hab .. kannst du mir erklären was die begriffe an dem bsp bedeuten
vieln dank
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:47 Mi 03.10.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> hi ja ok ich dachte bei [mm]1/x^2[/mm] kommt ne zahl raus für das
> uneigntliche integral.
dann rechne das nochmal nach. das integral sollte divergent sein.
> aber jetzt muss ich zugebn dass ich iwie notwenig und
> hinreichend vertauscht hab .. kannst du mir erklären was
> die begriffe an dem bsp bedeuten
probiere doch mal zu formulieren was heißt, dass die aussage $A$ notwendig beziehungsweise hinreichend für die aussage $B$ ist (etwa unter verwendung von implikationspfeilen) und probiere dann die hier vorliegende aussage ebenfalls mithilfe von implikationspfeilen zu notieren und vergleiche.
du kannst deine erkentnisse hier ja dann mal posten.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 Mi 03.10.2007 | | Autor: | Phecda |
HI also ich versteh das so
damit eine fkt integrierbar ist, ist es notwendig, dass sie beschränkt und stetig ist.
aber diese bedingung ist nicht hinreichend. da auch eine integrierbare fkt nicht beschränkt und stetig sein muss bsp. 1/sqrt(x).
beschränkt, stetige fkt [mm] \Rightarrow [/mm] integrierbar
bei einer notwendigen bedingung mach ich ja ein [mm] \Rightarrow [/mm] zeichen .. ist das so richtig mit der terminologie?
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 Mi 03.10.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
> HI also ich versteh das so
> damit eine fkt integrierbar ist, ist es notwendig, dass
> sie beschränkt und stetig ist.
Nein. [mm] x^{2} [/mm] ist nicht beschränkt und trotzdem integrierbar. Jede sprungstetige Funktion, insbesondere auch die Treppenfunktionen, über die der R-Integral definiert ist, ist auch integrierbar.
Andersrum - wenn eine Funktion stetig ist, dann gibt es auch ein Intervall, auf dem sie integrierbar ist.
> aber diese bedingung ist nicht hinreichend. da auch eine
> integrierbare fkt nicht beschränkt und stetig sein muss
> bsp. 1/sqrt(x).
Genau genommen, hast du grad die Begriffe hinreichend und notwendig verwechselt. Die hinreichende Bedingung ist stetig auf geschlossenem Intervall. Diese Bedingung ist aber nicht notwendig.
> beschränkt, stetige fkt [mm]\Rightarrow[/mm] integrierbar
> bei einer notwendigen bedingung mach ich ja ein [mm]\Rightarrow[/mm]
> zeichen .. ist das so richtig mit der terminologie?
> mfg
Nein, bei einer hinreichenden Bedingung macht man [mm] \Rightarrow.
[/mm]
Gruß,
dormant
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