Stetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:11 Do 11.05.2006 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Man untersuche die folgende Funktion auf Stetigkeit:
f(x,y) = [mm] \begin{cases} 0, & \mbox{für } x= 0 \\ \bruch{ye^{x^{-2}}}{1+y²e^{2x^{-2}}}, & \mbox{für } x \not= 0 \end{cases} [/mm] |
hallo!
ich häng an dieser aufgabe, kann mir das alles mit den 2 variablen noch nicht so wirklich vorstellen. in unsrer Definition für Stetigkeit heißt es:
f: d-> [mm] R^m [/mm] stetig im Punkt a, wenn [mm] \limes_{x\rightarrow\a} [/mm] f(x) = f(a), d.h. wenn es zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 ein [mm] \delta [/mm] > 0 existiert;
|f(x)-f(y)| [mm] \le \epsilon [/mm] für alle x aus D geschnitten [mm] K(a,\delta)
[/mm]
aber wie wende ich das nun auf die funktion mit x und y an??
wär super, wenn ihr mir weiterhelfen könnt!
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:47 Do 11.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Riley
überall ausser bei 0 sind alle einzelnen Fkt. stetig, und der Nenner>0
also nur bei 0 untersuchen
[mm] |f(x)-f(0)|<\varepsilon, [/mm] wenn $ [mm] |x^2-y^2|< \delta^2$ [/mm]
[mm] \bruch{|y|e^{x^{-2}}}{1+y²e^{2x^{-2}}}<\bruch{y}{1+y²e^{2x^{-2}}} [/mm] da [mm] e^{x^{-2}}<1
[/mm]
[mm] \bruch{y}{1+y²e^{2x^{-2}}}<|y| [/mm] Nenner verkleinert! also mit [mm] |y|<\delta [/mm] wähle [mm] \delta=\varepsilon. [/mm] Fertig
die nächst musst du aber mehr Iddeen einbringen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Do 11.05.2006 | | Autor: | Riley |
hi leduart!
vielen vielen dank für deine hilfe!!:)
hab aber doch noch ein paar fragen:
warum nimmst du |x²-y²| < [mm] \delta² [/mm] , warum im quadrat?
die abschätzungsschritte hab ich verstanden, aber ich check den schluss noch nicht, warum gilt |y|< [mm] \delta? [/mm] und warum darf man einfach [mm] \delta [/mm] = [mm] \epsilon [/mm] wählen??
viele grüße
riley
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Hallo Riley,
Um dieses [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] Kriterium für die Stetigkeit zu verwenden brauchst Du zunächst zugehörige Normen - für f ist das der Betrag. (x,y) ist aber aus dem [mm] R^2 [/mm] da hat leduart vermutlich an [mm]||(x,y)||_2=\wurzel{x^2+y^2}[/mm] gedacht und einen kleinene Vorzeichenfehler gemacht 
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:17 Do 25.05.2006 | | Autor: | Riley |
HI mathemaduenn!
achso, okay, danke dir für den hinweis!!
viele grüße
Riley
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