Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:19 Di 20.03.2018 | | Autor: | Franzi17 |
| Aufgabe | Seien [mm] $\varphi \in C'(\IR;\IR)$ [/mm] und $f : [mm] \IR^2 \to \IR$ [/mm] definiert durch
$f(x,y) = [mm] \begin{cases} \bruch{\varphi(x)- \varphi(y)}{(x-y)}, & x \neq y \\ \varphi'(x), & x =y \end{cases}$
[/mm]
Beweisen Sie, dass f auf ganz [mm] \IR^2 [/mm] stetig ist. |
Hallo,
[mm] $C(\IR, \IR)$ [/mm] wären ja alle stetigen Funktionen $f: [mm] \IR \to \IR$
[/mm]
Ich hätte [mm] $C'(\IR, \IR)$ [/mm] als die Ableitungen der stetigen Funktionen interpretiert, aus
[mm] $C(\IR, \IR)$, [/mm] welche auch differenzierbar sind.
Dann ist $f(x,y)$ für $x [mm] \ne [/mm] y$ stetig, da Nenner ungleich 0 und die Funktion eine Differenz und Quotient aus stetigen Funktionen.
Aber ich habe keine Idee, was ich mit dem Teil für x = y machen soll. Ich wäre sehr froh um einen Tipp!
Danke!!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:33 Di 20.03.2018 | | Autor: | fred97 |
> Seien [mm]\varphi \in C'(\IR;\IR)[/mm] und [mm]f : \IR^2 \to \IR[/mm]
> definiert durch
> [mm]f(x,y) = \begin{cases} \bruch{\varphi(x)- \varphi(y)}{(x-y)}, & x \neq y \\ \varphi'(x), & x =y \end{cases}[/mm]
>
> Beweisen Sie, dass f auf ganz [mm]\IR^2[/mm] stetig ist.
>
>
>
> Hallo,
> [mm]C(\IR, \IR)[/mm] wären ja alle stetigen Funktionen [mm]f: \IR \to \IR[/mm]
>
> Ich hätte [mm]C'(\IR, \IR)[/mm] als die Ableitungen der stetigen
> Funktionen interpretiert, aus
> [mm]C(\IR, \IR)[/mm], welche auch differenzierbar sind.
Steht da wirklich [mm] C^{'} [/mm] ? Oder etwa [mm] C^1?
[/mm]
Wie auch immer, gemeint sind wohl die differenzierbaren Funktionen mit stetiger Ableitung.
>
> Dann ist [mm]f(x,y)[/mm] für [mm]x \ne y[/mm] stetig, da Nenner ungleich 0
> und die Funktion eine Differenz und Quotient aus stetigen
> Funktionen.
>
> Aber ich habe keine Idee, was ich mit dem Teil für x = y
> machen soll. Ich wäre sehr froh um einen Tipp!
> Danke!!
Wir nehmen uns einen Punkt (a,a) her und zeigen die Stetigkeit von f in diesem Punkt.
Dazu betrachte |f (x,y)-f (a,a)| und bringe den Mittelwertsatz ins Spiel.
Kommst Du damit weiter?
>
|
|
|
| |
|
Hiho,
freds Antwort sagt eigentlich alles aus, aber mal eine Rückfrage zu deinem Verständnis, ohne die der Tipp von fred wohl nix nützt:
Wann ist $f(x,y)$ denn stetig in $(x,y)$?
Oder um die Notation von fred bei konkret dieser Aufgabe zu verwenden: Wann ist $f$ denn stetig in (a,a)?
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 Di 20.03.2018 | | Autor: | Franzi17 |
Hallo
danke für die Antworten!
Ja, da stand [mm] C^1, [/mm] tut mir leid, da hatte ich mich verlesen.
f ist stetig in (x,y)
falls für alle [mm] \eta [/mm] >0 ein [mm] \delta [/mm] >0 existiert, so dass
[mm] \left| f(p,q) -f(x,y) \right| [/mm] < [mm] \eta [/mm]
für alle (p,q) [mm] \in \IR^2, [/mm] so dass [mm] \left|| (p,q)-(x,y) \right|| [/mm] < [mm] \delta
[/mm]
Stimmt das so?
Der Tipp mit dem Mittelwertsatz hat mir noch nicht so geholfen.
Der Mittelwertsatz sagt ja, dass für eine Funktion, die auf einem abgeschlossenen Intervall [a,b] stetig und differenzierbar ist
mindestens ein [mm] x_0 \in [/mm] [a,b] existiert, s.d.
[mm] f'(x_0)=\bruch{f(b)-f(a)}{b-a}
[/mm]
Aber das hier gilt für eine Funktion f: [a,b] -> [mm] \IR
[/mm]
mir ist leider noch nicht klar, wie ich das hier anwenden kann.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:58 Di 20.03.2018 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
> danke für die Antworten!
> Ja, da stand [mm]C^1,[/mm] tut mir leid, da hatte ich mich
> verlesen.
>
> f ist stetig in (x,y)
> falls für alle [mm]\eta[/mm] >0 ein [mm]\delta[/mm] >0 existiert, so dass
> [mm]\left| f(p,q) -f(x,y) \right|[/mm] < [mm]\eta[/mm]
> für alle (p,q) [mm]\in \IR^2,[/mm] so dass [mm]\left|| (p,q)-(x,y) \right||[/mm]
> < [mm]\delta[/mm]
>
> Stimmt das so?
>
> Der Tipp mit dem Mittelwertsatz hat mir noch nicht so
> geholfen.
> Der Mittelwertsatz sagt ja, dass für eine Funktion, die
> auf einem abgeschlossenen Intervall [a,b] stetig und
> differenzierbar ist
> mindestens ein [mm]x_0 \in[/mm] [a,b] existiert, s.d.
>
> [mm]f'(x_0)=\bruch{f(b)-f(a)}{b-a}[/mm]
>
> Aber das hier gilt für eine Funktion f: [a,b] -> [mm]\IR[/mm]
> mir ist leider noch nicht klar, wie ich das hier anwenden
> kann.
Lies meine letzte Mitteilung (vor ca. 1 Minute). Den MWS wende auf den Quotienten [mm] \frac{\varphi(x)- \varphi(y)}{x-y} [/mm] an.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:56 Di 20.03.2018 | | Autor: | fred97 |
Noch ein Tipp: zu betrachten ist ja |f (x,y)-f (a,a)|.
Ist x=y, so ist |f (x,y)-f (a,a)|=| [mm] \varphi'(x)- \varphi'(a)|
[/mm]
Ist x [mm] \ne [/mm] y, so bekommen wir aus dem Mittelwertsatz ein t zwischen x und y mit |f (x,y)-f (a,a)|=| [mm] \varphi'(t)- \varphi'(a)|
[/mm]
Fazit: in beiden Fällen gibt es ein s zwischen x und y mit
|f (x,y)-f (a,a)|=| [mm] \varphi'(s)- \varphi'(a)|
[/mm]
So, nun lasse (x,y) [mm] \to [/mm] (a,a) gehen und schau was passiert. Die stetigkeit von [mm] \varphi' [/mm] nicht vergessen !
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 Di 20.03.2018 | | Autor: | Franzi17 |
Bin ich jetzt auf der richtigen Spur?
Wenn (x,y) -> (a,a)
dann näheren sich x und y a an und der Abstand zwischen x und a und y und a wird beliebig klein. Trotzdem kann ich nach dem Mittelwertsatz ein s zwischen x und y finden
und der Abstand zwischen a und s sei < [mm] \delta
[/mm]
Weil [mm] \Phi [/mm] stetig ist ist [mm] \left| \Phi(a)-\Phi(s) \right| [/mm] < [mm] \eta [/mm] für [mm] \eta [/mm] <0
Und dasselbe Argument nochmal auf [mm] \left| \Phi'(a)- \Phi'(s) \right| [/mm] angwandt.
Das erscheint mir absolut noch nicht richtig?!
Danke für euere Hilfe!
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Bin ich jetzt auf der richtigen Spur?
Das wirkt noch alles sehr unklar…
> Wenn (x,y) -> (a,a)
> dann näheren sich x und y a an und der Abstand zwischen x
> und a und y und a wird beliebig klein.
Grob gesprochen: Ja.
Trotzdem kann ich nach dem Mittelwertsatz ein s zwischen x und y finden
Wieso "trotzdem"?
Und das s kannst du nicht "nach dem Mittelwertsatz" finden, sondern wenn [mm] $x\not=y$ [/mm] gibt es diesen Abstand immer…
> und der Abstand zwischen a und s sei < [mm]\delta[/mm]
Sei er das nun… wieso?
> Weil [mm]\Phi[/mm] stetig ist ist [mm]\left| \Phi(a)-\Phi(s) \right|[/mm] <
> [mm]\eta[/mm] für [mm]\eta[/mm] <0
Ok… das bringt dir jetzt was?
> Und dasselbe Argument nochmal auf [mm]\left| \Phi'(a)- \Phi'(s) \right|[/mm]
> angwandt.
>
> Das erscheint mir absolut noch nicht richtig?!
Weil es absolut noch nicht richtig ist…
Fangen wir mal bei den Grundlagen an: Stetigkeit.
Ich hatte dich ja gefragt, wann eine Funktion stetig ist, du hast dazu geantwortet:
> f ist stetig in (x,y)
> falls für alle $ [mm] \eta [/mm] $ >0 ein $ [mm] \delta [/mm] $ >0 existiert, so dass
> $ [mm] \left| f(p,q) -f(x,y) \right| [/mm] $ < $ [mm] \eta [/mm] $
> für alle (p,q) $ [mm] \in \IR^2, [/mm] $ so dass $ [mm] \left|| (p,q)-(x,y) \right|| [/mm] $ < $ [mm] \delta [/mm] $
Das ist auch korrekt, macht die Aufgabe allerdings ein bisschen formal schwieriger aufzuschreiben… erhofft hatten wir (ich spreche da mal für fred) eigentlich folgende Charakterisierung der Stetigkeit:
> f ist stetig in (x,y)
> falls [mm] $\lim_{(x_k,y_k) \to (x,y)} f(x_k,y_k) [/mm] = f(x,y)$
Beide Definitionen sind äquivalent und mit der zweiten ist die Aufgabe Ruck-Zuck gezeigt.
Aber du hast nun mal die erste gewählt, also machen wir das jetzt auch mal mit der:
Du hast bereits argumentiert, dass $f(x,y)$ als Komposition stetiger Funktionen wieder stetig ist für [mm] $x\not= [/mm] y$. Bleibt also zu zeigen, dass $f$ das auch für x=y ist und wir haben daher $f(a,a)$ betrachtet.
Zu zeigen ist nach deiner Definition nun also:
> f ist stetig in (a,a)
> falls für alle $ [mm] \eta [/mm] $ >0 ein $ [mm] \delta [/mm] $ >0 existiert, so dass
> $ [mm] \left| f(x,y) -f(a,a) \right| [/mm] $ < $ [mm] \eta [/mm] $
> für alle (x,y) $ [mm] \in \IR^2, [/mm] $ so dass $ [mm] \left|| (x,y)-(a,a) \right|| [/mm] $ < $ [mm] \delta [/mm] $
Das ist deine Definition angewandt auf $f(a,a)$, erst mal nicht mehr.
Nun sei $ [mm] \eta [/mm] >0$ wie in der Definition oben gegeben, unser Ziel ist es nun ein $ [mm] \delta [/mm] >0$ zu finden, so dass $ [mm] \left| f(x,y) -f(a,a) \right| [/mm] < [mm] \eta [/mm] $ gilt für alle $(x,y) [mm] \in \IR^2$ [/mm] mit $ [mm] \left|| (x,y)-(a,a) \right|| [/mm] < [mm] \delta [/mm] $.
Klar soweit?
Dann wollen wir das mal versuchen, indem wir
Was ist nun: $ [mm] \left| f(x,y) -f(a,a) \right| [/mm] $ ? Dafür machen wir eine Fallunterscheidung:
1. Fall: Zeige für $x=y$ gilt: $| f(x,y) -f(a,a)| = [mm] |\Phi'(x) [/mm] - [mm] \Phi'(a)|$
[/mm]
Warum findest du nun ein [mm] $\delta [/mm] > 0$, so dass $| f(x,y) -f(a,a)| = [mm] |\Phi'(x) [/mm] - [mm] \Phi'(a)| [/mm] < [mm] \eta$ [/mm] für alle [mm] $x\in \IR$ [/mm] mit $|x-a| < [mm] \delta$?
[/mm]
Ist dann auch $| f(x,y) -f(a,a)| < [mm] \eta$ [/mm] für alle $||(x,y) - (a,a)|| < [mm] \delta$? [/mm]
Tipp: Wofür steht [mm] $||\cdot||$?
[/mm]
2. Fall: Zeige für [mm] $x\not=y$ [/mm] gilt: $| f(x,y) -f(a,a)| = [mm] |\Phi'(s) [/mm] - [mm] \Phi'(a)|$ [/mm] für ein $s [mm] \in [/mm] (x,y)$ (aufpassen: (x,y) meint hier wirklich das offene Intervall (x,y) und nicht das [mm] $\IR^2$-Tupel).
[/mm]
Warum findest du nun ein [mm] $\delta [/mm] > 0$, so dass $| f(x,y) -f(a,a)| = [mm] |\Phi'(s) [/mm] - [mm] \Phi'(a)| [/mm] < [mm] \eta$ [/mm] für alle [mm] $s\in \IR$ [/mm] mit $|s-a| < [mm] \delta$?
[/mm]
Ist dann auch $| f(x,y) -f(a,a)| < [mm] \eta$ [/mm] für alle $||(x,y) - (a,a)|| < [mm] \delta$?
[/mm]
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:05 Mi 21.03.2018 | | Autor: | fred97 |
Ich möchte , anhand der obigen Aufgabe, mal erläutern, wie man solche Beweise führen kann (und soll).
Vorweg: das [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] - Gefummel ist hier unangebracht !
Wie geht man vor ? Zunächst legt man sich zurecht, was man hat (das nennt man Voraussetzungen), dann schaut man, wohin man will und dann überlegt man sich, wie man ans Ziel kommt.
Von den Voraussetzungen will ich nur eine betonen: $ [mm] \varphi \in C^1(\IR;\IR) [/mm] $, also [mm] \varphi [/mm] differenzierbar auf [mm] \IR [/mm] und [mm] \varphi' [/mm] stetig !
Franzi hat ja schon gesagt, dass man die Stetigkeit nur in Punkten (a,a) zeigen muss. Dazu nehmen wir uns einen solchen Punkt her und betrachten die Differenz
D(x,y):=f(x,y)-f(a,a).
Warum ? Darum: f ist in (a,a) stetig [mm] \gdw [/mm] D(x,y) [mm] \to [/mm] 0 für (x,y) [mm] \to [/mm] (a,a).
Nun unterscheiden wir zwei Fälle (die Def. von f legt das nahe !):
Fall 1: x=y. Dann ist
(1) [mm] D(x,y)=\varphi'(x)-\varphi'(a)
[/mm]
Das behalten wir im Hinterkopf.
Fall 2:x [mm] \ne [/mm] y. Dann ist
(2) [mm] D(x,y)=\frac{\varphi(x)-\varphi(y)}{x-y}-\varphi'(a).
[/mm]
Wenn nun (x,y) [mm] \to [/mm] (a,a) geht, wird [mm] \frac{\varphi(x)-\varphi(y)}{x-y} [/mm] zu [mm] \frac{0}{0}, [/mm] das ist blöd, bringt so nix und lässt manchen verzweifeln.
Was nun ? Wer bei Fred Vorlesungen gehört hat, wird sich an seine Predigt erinnern. Da die wenigsten, die das lesen, bei Fred Vorlesungen gehört haben, nochmal die
Predigt: hat man die Differenz zweier Funktionswerte oder einen Ausdruck wie [mm] \frac{\varphi(x)-\varphi(y)}{x-y} [/mm] vor der Nase, so denke man an den Mittelwertsat !
Beherzigen wir dies, so liefert der MWS: es ex. ein s zwischen x und y mit
[mm] \frac{\varphi(x)-\varphi(y)}{x-y}= \varphi'(s).
[/mm]
Und schwupp wird aus (2)
(3) [mm] D(x,y)=\varphi'(s)-\varphi'(a).
[/mm]
Fassen wir die beiden Fälle zusammen, so bekommen wir als
Fazit: ist (x,y) [mm] \in \IR^2, [/mm] so gibt es ein s zwischen x und y mit
[mm] D(x,y)=\varphi'(s)-\varphi'(a).
[/mm]
(im Falle 1 ist s=x, aber das ist ja O.K.).
Was passiert nun, wenn (x,y) [mm] \to [/mm] (a,a) geht ? Das: s [mm] \to [/mm] a.
Eine Vor. haben wir noch nicht benutzt: die Stetigkeit von [mm] \varphi'.
[/mm]
Also: aus s [mm] \to [/mm] a folgt [mm] \varphi'(s) \to \varphi'(a).
[/mm]
Bingo ! Damit ist gezeigt: [mm] D(x,y)=\varphi'(s)-\varphi'(a) \to [/mm] 0 für (x,y) [mm] \to [/mm] (a,a).
Ich habe fertig.
Noch nicht ganz. Ich möchte noch ein weiteres Beispiel angeben, wie gewinnbringend die Fredsche Predigt sein kann:
Gegeben ist die Folge [mm] a_n= \sin(\sqrt{n+1})-\sin(\sqrt{n}).
[/mm]
Die Aufgabe lautet: zeige , dass [mm] (a_n) [/mm] konvergiert und bestimme den Grenzwert.
Schaut man sich [mm] a_n [/mm] an, so siet man nix ! [mm] a_n [/mm] ist die Differenz zweier Funktionswerte. War man bei Fred, so sollte einem der Mittelwertsatz ins Hirn kommen. Ich brauche also eine Funktion f, nur welche ?
Na ja, probiern wirs mal mit [mm] f(x)=sin(\sqrt{x}). [/mm] Dann ist nämlich
[mm] a_n=f(n+1)-f(n).
[/mm]
Nach dem MWS gibt es zu jedem n ein [mm] s_n \in [/mm] (n,n+1) mit
[mm] a_n=f'(s_n)=\frac{\cos \sqrt{s_n}}{2 \sqrt{s_n}}.
[/mm]
Damit ist
[mm] |a_n| \le \frac{1}{2 \sqrt{s_n}}.
[/mm]
Mit n [mm] \to \infty [/mm] haben wir auch [mm] s_n \to \infty, [/mm] wegen [mm] s_n \in [/mm] (n,n+1) und damit [mm] \frac{1}{2 \sqrt{s_n}} \to [/mm] 0.
[mm] (a_n) [/mm] ist also eine Nullfolge.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:23 Mi 21.03.2018 | | Autor: | chrisno |
Ich werde das in meinem Leben höchstwahrscheinlich nicht mehr benötigen, merke mir es aber trotzdem.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:46 Mi 21.03.2018 | | Autor: | Franzi17 |
Danke für die Hilfe und die Predigt! :) Ich werde es mir merken!
|
|
|
|
