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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Fr 06.01.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | | Sei f: I -> f(I) streng monoton und stetig in I. So ist [mm] f^{-1}: [/mm] f(I)->I stetig(auf ganze Definitionsbereich) |
Beweis:
1Fall) [mm] x_0 \in I^{o} [/mm] (innerer Punkt)
o.B.d.A. f streng monoton steigend
Sei [mm] y_0 \in [/mm] f(I), [mm] y_0 [/mm] = [mm] f(x_0), x_0 \in [/mm] I
Wählen [mm] \epsilon [/mm] >0 , so dass [mm] x_0 [/mm] - [mm] \epsilon [/mm] und [mm] x_0 [/mm] + [mm] \epsilon \in [/mm] I sind.
Da f streng monoton steigend ist gilt,:
[mm] f(x_0 -\epsilon) [/mm] < f [mm] (x_0 [/mm] )= [mm] y_0 [/mm] < [mm] f(x_0 [/mm] + [mm] \epsilon)
[/mm]
Ich tuhe mir nun sehr schwer, dass [mm] \delta [/mm] > 0 zu finden.
Im Skriptum steht: [mm] \delta(\epsilon,x_0) [/mm] := min [mm] \{y_0 - f(x_0 - \epsilon) , f(x_0 + \epsilon) - y_0\}
[/mm]
|y - [mm] y_0| [/mm] < [mm] \delta [/mm] : [mm] f(x_0 [/mm] - [mm] \epsilon) [/mm] < y < [mm] f(x_0 [/mm] + [mm] \epsilon)
[/mm]
(zum SChluss noch auch [mm] f^{-1} [/mm] anwenden )(Ist klar)
was ist aber y? was ist der Unterschied zwischen y und [mm] y_0 [/mm] ?
Warum wird, dass [mm] \delta [/mm] so gewählt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:01 Fr 06.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
y ist bestimmt durch [mm] |y-y_0|<\delta, [/mm] es liegt also zwischen
$ [mm] f(x_0 [/mm] $ - $ [mm] \epsilon) [/mm] $ < y < $ [mm] f(x_0 [/mm] $ + $ [mm] \epsilon) [/mm] $
wie es da steht. wenn du bei der Stetigkeit von f hinschreibst [mm] |x-x_0|<\delta [/mm] ist doch x auch durch [mm] x_0-\delta
Gruss leduart
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