Stetige Funktion < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:23 Mo 07.02.2011 | | Autor: | Karander |
| Aufgabe | | Sei f:[mm]\IR\rightarrow\IR[/mm] stetig. Zeige es gibt ein [mm]x_0\in\IR[/mm] mit [mm]\begin{Vmatrix}
(x_0,f(x_0))
\end{Vmatrix}\le\begin{Vmatrix}
(x,f(x))
\end{Vmatrix}[/mm] für alle x |
Hi, wollte nur wissen ob das: a) so richtig ist und b) klausurtauglich :)
[mm]\begin{Vmatrix}
(x,f(x))
\end{Vmatrix}(=\wurzel{x^2+(f(x))^2})[/mm] kann geometrisch als die Entfernung von dem Nullpunkt gesehen werden. Würde die Aussage also nicht zutreffen, so würde ein Punkt existieren, der näher an (0,0) ist als (0,0) selbst. Dies würde ein Wiederspruch sein.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
p.s. ja, der Titel ist wirklich unglücklich gewählt aber ich bin auf nichts besseres gekommen^^
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:28 Mo 07.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Der Abstand 2 er reeller Zahlen [mm] x_0 [/mm] und [mm] f(x_0) [/mm] ist nicht [mm] \wurzel{x^2+(f(x))^2}) [/mm]
wie gross wär denn dann ||(x,x)||
du müsstest zweifeln, da du Stetigkeit ja gar nicht benutz hast,
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:32 Mo 07.02.2011 | | Autor: | Karander |
Mit dem Abstand ist natürlich nicht der Abstand zwischen [mm]x_0[/mm] und [mm]f(x_0)[/mm] gemeint :). Es geht mir darum: Wenn ich f(x) als ein Bild in ein Koordinatensystem eintrage so hab ich lauter Punkte die in einem bestimmten "Abstand" zu dem Uhrprung (0,0) sind. Z.B. ist (1,1) um [mm] \wurzel{2} [/mm] Einheiten davon entfernt. Ich hab versucht es mir mit Pythagoras zu veranschaulichen: Die Strecke (0,0) bis ([mm]x_0[/mm],0) dient mir hierbei als die Grundseite des Dreiecks, ([mm]x_0[/mm],0) bis ([mm]x_0[/mm],[mm]f(x_0)[/mm]) ist die darauf senkrecht stehende. Deren Längen sind offensichtlich [mm]x_0[/mm] und [mm]f(x_0)[/mm]. Die Länge der fehlenden Strecke berechne ich dann mit genau mit [mm] \wurzel{x_0^2+f(x_0)^2} [/mm] wegen a²+b²=c². Würde die Aussage aus der Aufgabe also falsch sein würde ein Punkt existieren der "näher zu dem Ursprung ist" als der Ursprung selbst. Das ist zumindest das was ich mir gedacht hab^^
Ist es trotzdem falsch?
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> Mit dem Abstand ist natürlich nicht der Abstand zwischen
> [mm]x_0[/mm] und [mm]f(x_0)[/mm] gemeint :). Es geht mir darum: Wenn ich f(x)
> als ein Bild in ein Koordinatensystem eintrage so hab ich
> lauter Punkte die in einem bestimmten "Abstand" zu dem
> Uhrprung (0,0) sind. Z.B. ist (1,1) um [mm]\wurzel{2}[/mm] Einheiten
> davon entfernt. Ich hab versucht es mir mit Pythagoras zu
> veranschaulichen: Die Strecke (0,0) bis ([mm]x_0[/mm],0) dient mir
> hierbei als die Grundseite des Dreiecks, ([mm]x_0[/mm],0) bis
> ([mm]x_0[/mm],[mm]f(x_0)[/mm]) ist die darauf senkrecht stehende. Deren
> Längen sind offensichtlich [mm]x_0[/mm] und [mm]f(x_0)[/mm]. Die Länge der
> fehlenden Strecke berechne ich dann mit genau mit
> [mm]\wurzel{x_0^2+f(x_0)^2}[/mm] wegen a²+b²=c² .
Hallo,
so weit ist das völlig richtig:
die Funktion [mm] d:\IR \to \IR, [/mm] die durch [mm] d(x):=\parallel (x,f(x))\parallel [/mm] definiert ist, liefert den Abstand des Punktes (x,f(x)) vom Ursprung.
>Würde die
> Aussage aus der Aufgabe also falsch sein würde ein Punkt
> existieren der "näher zu dem Ursprung ist" als der
> Ursprung selbst.
Warum? Kannst Du uns das plausibel machen?
(Dein Gedanke ist kraus. Es muß doch der Punkt (0,0) gar nicht auf dem Graphen der Funktion f liegen. Nirgendwo steht, daß f(0)=0.)
Worum geht es in der Aufgabe?
Du hast eine stetige Funktion [mm] f:\IR \to \IR [/mm] und betrachtest ihren Graphen.
Du sollst nun zeigen, daß es auf dem Graphen einen Punkt gibt, der minimalen Abstand zum Ursprung hat, daß also die Funktion d ein Minimum hat.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:10 Di 08.02.2011 | | Autor: | Karander |
> >Würde die
> > Aussage aus der Aufgabe also falsch sein würde ein Punkt
> > existieren der "näher zu dem Ursprung ist" als der
> > Ursprung selbst.
>
> Warum? Kannst Du uns das plausibel machen?
> (Dein Gedanke ist kraus. Es muß doch der Punkt (0,0) gar
> nicht auf dem Graphen der Funktion f liegen. Nirgendwo
> steht, daß f(0)=0.)
Meine Überlegung war die: Die Aussage lautet, dass es ein [mm]x_0[/mm] gibt, so dass [mm]\parallel (x_0,f(x_0))\parallel[/mm] kleiner als [mm]\parallel (x,f(x))\parallel[/mm] für alle x ist, dies stimmt auch wenn die Funktion verschoben wird, da dies nichts an der stätigkeit ändert. Ich nehme nun an, dass diese Aussage falsch ist, weswegen ein [mm]x_1[/mm] existieren müsste so, dass [mm]\parallel (x_1,f(x_1))\parallel[/mm] echt kleiner als [mm]\parallel (x_0,f(x_0))\parallel[/mm] ist. Ich verschiebe nun f so, dass f durch dem Uhrsprung geht. Somit gibt es ein [mm]x_0[/mm]=0 und f(0)=0 und dann weiter wie oben...
Hab jetzt verstanden wieso es so nicht gestimmt hat. Folglich hab ich meine Überlegung etwas geändert aber ich glaube es ist immer noch falsch
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> > >Würde die
> > > Aussage aus der Aufgabe also falsch sein würde ein Punkt
> > > existieren der "näher zu dem Ursprung ist" als der
> > > Ursprung selbst.
> >
> > Warum? Kannst Du uns das plausibel machen?
> > (Dein Gedanke ist kraus. Es muß doch der Punkt (0,0)
> gar
> > nicht auf dem Graphen der Funktion f liegen. Nirgendwo
> > steht, daß f(0)=0.)
>
> Meine Überlegung war die: Die Aussage lautet, dass es ein
> [mm]x_0[/mm] gibt, so dass [mm]\parallel (x_0,f(x_0))\parallel[/mm] kleiner
> als [mm]\parallel (x,f(x))\parallel[/mm] für alle x ist, dies
> stimmt auch wenn die Funktion verschoben wird, da dies
> nichts an der stätigkeit ändert. Ich nehme nun an, dass
> diese Aussage falsch ist, weswegen ein [mm]x_1[/mm] existieren
> müsste so, dass [mm]\parallel (x_1,f(x_1))\parallel[/mm] echt
> kleiner als [mm]\parallel (x_0,f(x_0))\parallel[/mm] ist. Ich
> verschiebe nun f so, dass f durch dem Uhrsprung geht. Somit
> gibt es ein [mm]x_0[/mm]=0 und f(0)=0 und dann weiter wie oben...
>
> Hab jetzt verstanden wieso es so nicht gestimmt hat.
> Folglich hab ich meine Überlegung etwas geändert aber ich
> glaube es ist immer noch falsch
Hallo,
nehmen wir mal die durch
[mm] $g(x):=\begin{cases} 5, & \mbox{fuer } x\not=0 \\ 10, & \mbox{fuer } x=0 \end{cases}$
[/mm]
definierte Funktion.
Diese ist ja nicht stetig, und Du kannst feststellen, daß es keinen Punkt mit minimalem Abstand zum Ursprung gibt.
Für das, was Du zeigen sollst, ist die Stetigkeit der zu betrachtenden Funktion f also wichtig!
Deiner Argumentation folgend würde ich obige Funktion g jetzt irgendwie in den Ursprung verschieben und sagen: trallala, ein Punkt der verschobenen Funktion g ist im Ursprung und hat den Abstand 0 von diesem, trallala, also hat f einen Punkt mit minimalem Abstand...
Du merkst hieran, daß Deine Argumentation hinkt...
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mi 09.02.2011 | | Autor: | Karander |
ok danke, dann nehm ich jetzt mal absatnd von dieser Idee und versuche es mal anders :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:50 Mo 07.02.2011 | | Autor: | gfm |
> Sei f:[mm]\IR\rightarrow\IR[/mm] stetig. Zeige es gibt ein [mm]x_0\in\IR[/mm]
> mit [mm]\begin{Vmatrix}
(x_0,f(x_0))
\end{Vmatrix}\le\begin{Vmatrix}
(x,f(x))
\end{Vmatrix}[/mm]
> für alle x
> Hi, wollte nur wissen ob das: a) so richtig ist und b)
> klausurtauglich :)
>
> [mm]\begin{Vmatrix}
(x,f(x))
\end{Vmatrix}(=\wurzel{x^2+(f(x))^2})[/mm] kann
> geometrisch als die Entfernung von dem Nullpunkt gesehen
> werden. Würde die Aussage also nicht zutreffen, so würde
> ein Punkt existieren, der näher an (0,0) ist als (0,0)
> selbst. Dies würde ein Wiederspruch sein.
Die Negierung der Aussage wäre die Existenz eines [mm] x\in\IR [/mm] zu jedem [mm] x_0\in\IR
[/mm]
[mm] \begin{Vmatrix}
(x_0,f(x_0))
\end{Vmatrix}>\begin{Vmatrix}
(x,f(x))
\end{Vmatrix}
[/mm]
LG
gfm
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:56 Di 08.02.2011 | | Autor: | fred97 |
Folgen machen oft das Leben leichter (und Quadrieren):
Anleitung:
1. Betrachte die Funktion $ [mm] g(x):=\parallel (x,f(x))\parallel^2 =x^2+f(x)^2$. [/mm] g ist stetig auf [mm] \IR [/mm] und [mm] \ge [/mm] 0 auf [mm] \IR.
[/mm]
2. Es ex. $a:= inf [mm] \{g(x): x \in \IR\} \in \IR.$
[/mm]
3. Zu zeigen ist: es ex. ein [mm] x_0 \in\IR [/mm] mit [mm] g(x_0)=a.
[/mm]
4. Wähle also eine Folge [mm] (x_n) [/mm] in [mm] \IR [/mm] mit: [mm] g(x_n) \to [/mm] a.
5. Zeige: [mm] (x_n) [/mm] ist beschränkt.
Mache dafür einen Widerspruchsbeweis und benutze: [mm] g(x_n) \ge x_n^2 [/mm] für jedes n [mm] \in \IN.
[/mm]
6. Ziehe nun den Satz von Bolzano-Weierstraß heran und die Stetigkeit von g.
FRED
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