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| Aufgabe 1 | | a) Bestimmen Sie durch Trennung der Variablen Lösungen der Differentialgleichung y′ [mm] =e^{y}*sin(x). [/mm] |
| Aufgabe 2 | | b) Welche der auf einem offenen und Null enthaltenden Intervall I erklärten Lösungen lassen sich als Lösungen auf R fortsetzen? |
Hallo!
Mein Problem liegt hauptsächlich in Aufgabenteil b und das Ende von a und da wir bei unserem lieben Prof bis zur Abgabe keine Tutorien zum Fragenstellen haben, bin ich auf euch angewiesen. :)
Aber erstmal meine Lösung zu a) (hatte ich letzte Woche schon gestellt, sollte stimmen):
y' [mm] =e^{y}*sin(x)
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{dy}{dx}=e^{y}*sin(x)
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{dy}{e^{y}}=sin(x)dx
[/mm]
[mm] \gdw \integral{e^{-y}dy}=\integral{sin(x)dx}
[/mm]
[mm] \gdw -e^{-y}=-cos(x)-C
[/mm]
[mm] \gdw e^{-y}=cos(x)+C
[/mm]
[mm] \gdw ln(\bruch{1}{e^{y}})=ln(cos(x)+C) [/mm]
[mm] \gdw ln(1)-ln(e^{y})=ln(cos(x)+C)
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 0-y=ln(cos(x)+C)
[mm] \gdw [/mm] y=-ln(cos(x)+C)
definiert für [mm] x\in\IR [/mm] mit cos(x)+C>0, d.h.
1. Fall: c>1 [mm] \Rightarrow [/mm] cos(x)+C>0 für alle [mm] x\in\IR \Rightarrow [/mm] Es ex. Lösung mit [mm] D=\IR
[/mm]
2. Fall: c<1 [mm] \Rightarrow [/mm] cos(x)+C<0 für alle [mm] x\in\IR \Rightarrow [/mm] Es ex. keine Lösungen
3. Fall: [mm] c\in[-1,1] \Rightarrow
[/mm]
Hier meine erste Unklarheit, wie schreibe ich den dritten Fall auf? cos(x)+C>0 ist die Bedingung. Aber weiter keine Ahnung. :/
So. und jetzt zu b).
Um ehrlich zu sein, habe ich keine Ahnung was mir die Aufgabenstellung sagen soll. Kann ich mir irgendein Intervall, das die 0 enthält, frei wählen? Was heißt Fortsetzbar auf [mm] \IR [/mm] ? Stetig Fortsetzbar?
Meiner Meinung nach ist die Funktion für C>1 schon stetig, und bei allen anderen Werten nicht, insbesondere auch nicht Fortsetzbar, da es sich bei den kritischen Punkten um Polstellen bzw. komplette nicht definierte Intervalle handelt.
Kann jemand die Aufgabe richtig deuten? :)
LG Dominik
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Hallo,
> a) Bestimmen Sie durch Trennung der Variablen Lösungen der
> Differentialgleichung y′ [mm]=e^{y}*sin(x).[/mm]
> b) Welche der auf einem offenen und Null enthaltenden
> Intervall I erklärten Lösungen lassen sich als Lösungen
> auf R fortsetzen?
> Hallo!
> Mein Problem liegt hauptsächlich in Aufgabenteil b und
> das Ende von a und da wir bei unserem lieben Prof bis zur
> Abgabe keine Tutorien zum Fragenstellen haben, bin ich auf
> euch angewiesen. :)
>
> Aber erstmal meine Lösung zu a) (hatte ich letzte Woche
> schon gestellt, sollte stimmen):
>
> y' [mm]=e^{y}*sin(x)[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{dy}{dx}=e^{y}*sin(x)[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{dy}{e^{y}}=sin(x)dx[/mm]
>
> [mm]\gdw \integral{e^{-y}dy}=\integral{sin(x)dx}[/mm]
>
> [mm]\gdw -e^{-y}=-cos(x)-C[/mm]
>
> [mm]\gdw e^{-y}=cos(x)+C[/mm]
>
> [mm]\gdw ln(\bruch{1}{e^{y}})=ln(cos(x)+C)[/mm]
>
> [mm]\gdw ln(1)-ln(e^{y})=ln(cos(x)+C)[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] 0-y=ln(cos(x)+C)
>
> [mm]\gdw[/mm] y=-ln(cos(x)+C)
>
> definiert für [mm]x\in\IR[/mm] mit cos(x)+C>0, d.h.
>
> 1. Fall: c>1 [mm]\Rightarrow[/mm] cos(x)+C>0 für alle [mm]x\in\IR \Rightarrow[/mm]
> Es ex. Lösung mit [mm]D=\IR[/mm]
>
> 2. Fall: c<1 [mm]\Rightarrow[/mm] cos(x)+C<0 für alle [mm]x\in\IR \Rightarrow[/mm]
> Es ex. keine Lösungen
>
> 3. Fall: [mm]c\in[-1,1] \Rightarrow[/mm]
>
>
> Hier meine erste Unklarheit, wie schreibe ich den dritten
> Fall auf? cos(x)+C>0 ist die Bedingung. Aber weiter keine
> Ahnung. :/
>
> So. und jetzt zu b).
> Um ehrlich zu sein, habe ich keine Ahnung was mir die
> Aufgabenstellung sagen soll. Kann ich mir irgendein
> Intervall, das die 0 enthält, frei wählen? Was heißt
> Fortsetzbar auf [mm]\IR[/mm] ? Stetig Fortsetzbar?
> Meiner Meinung nach ist die Funktion für C>1 schon stetig,
> und bei allen anderen Werten nicht, insbesondere auch nicht
> Fortsetzbar, da es sich bei den kritischen Punkten um
> Polstellen bzw. komplette nicht definierte Intervalle
> handelt.
>
> Kann jemand die Aufgabe richtig deuten? :)
>
Deine Lösung mit der allgemeinen Konstante C ist zwar richtig aber für diese Aufgabe nicht präzise genug. Du musst dir darüber im klaren sein, dass C nicht irgendeine beliebige Konstante ist, sondern von den Anfangswerten [mm] (x_0,y_0) [/mm] abhängt. Insofern solltest Du bei der Integration der Dgl nicht unbestimmt integrieren, sondern von [mm] x_0 [/mm] bis x bzw. [mm] y_0 [/mm] bis y. So steht es auch in jedem Lehrbuch.
Dann erhältst Du für deine Konstante einen konkreten Ausdruck abhängig von [mm] x_0 [/mm] und [mm] y_0. [/mm] Setzt Du noch [mm] x_0=0 [/mm] (der 0-Punkt soll ja im Lösungsintervall liegen), wirst Du ablesen können, für welche [mm] y_0 [/mm] Werte die Konstante > 1 ist und somit die Lösung für ganz R definiert ist.
Die Antwort auf Frage b) lautet dann: Lösungen, die die y-Achse im Bereich ...(noch zu berechnen)... schneiden, lassen sich auf ganz R fortsetzen.
gruss
Matthias
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