Stetige Differenzierbarkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:24 Sa 23.06.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | Für k [mm] \in \IN_0 [/mm] seien die Funktionen [mm] f_k [/mm] definiert durch
[mm] f_k [/mm] : [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR, f_k(x)=\begin{cases} \bruch{x^k}{|x|}, & \mbox{für } x \mbox{ ungleich 0} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ =0} \end{cases}
[/mm]
Untersuchen Sie, für welche k die Funktion [mm] f_k [/mm] in x = 0
a) stetig ist
b) differenzierbar ist
c) stetig differenzierbar ist |
Hallo zusammen, ich poste einfach mal meine Ergebnisse, weiß aber nicht ob die so korrekt sind.
a) Ich bilde den rechts und llinksseitigen Limes
sei x =1
rechts: [mm] \limes_{x\rightarrow\ 1} \bruch{x^k}{|x|} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ 1} \bruch{1^k}{|1|} [/mm] = 1
für gerade und ungerade k
links: [mm] \limes_{x\rightarrow\ 1} \bruch{x^k}{|x|} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ 1} \bruch{-1^k}{|-1|} [/mm] = 1
für gerade k!
Damit stimmen die Funktionswerte für k gerade überein!
zu b)
[mm] \bruch{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} [/mm] = [mm] \bruch{f(\bruch{x^k}{|x|} ) - f(0)}{\bruch{x^k}{|x|} -0} [/mm] = 1
[mm] \bruch{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} [/mm] = [mm] \bruch{f(-\bruch{x^k}{|x|} ) - f(0)}{-\bruch{x^k}{|x|} -0} [/mm] = 1
Bitte um Hilfe....
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:33 Sa 23.06.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bodo!
Warum verwendest Du plötzlich den x-Wert $x \ = \ [mm] \red{1}$ [/mm] ? ![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]")
Außerdem kannst du dir die ganze Sache erheblich vereinfachen, wenn Du hier die Definition der Betragsfunktion anwendest und auch Deine Funktion entsprechend umschreibst:
[mm] |x|:=\begin{cases} -x, & \mbox{für } x \ < \ 0 \mbox{ } \\ +x, & \mbox{für } x \ \ge \ 0 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Damit wird dann:
[mm] f_k:\IR\mapsto\IR, f_k(x)=\begin{cases}\bruch{x^k}{-x}, & \mbox{für } x \ < \ 0 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x \ = \ 0 \mbox{} \\ \bruch{x^k}{+x}, & \mbox{für } x \ > \ 0 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
[mm] f_k:\IR\mapsto\IR, f_k(x)=\begin{cases}-x^{k-1}, & \mbox{für } x \ < \ 0 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x \ = \ 0 \mbox{} \\ +x^{k-1}, & \mbox{für } x \ > \ 0 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Und nun jeweils den links- und rechtsseitigen Grenzwert betrachten.
Für $x \ [mm] \not= [/mm] \ 0$ kannst Du auch bereits die Ableitungsfunktion angeben mit:
[mm] f_k'(x)=\begin{cases}-(k-1)*x^{k-2}, & \mbox{für } x \ < \ 0 \mbox{ } \\ +(k-1)*x^{k-2}, & \mbox{für } x \ > \ 0 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Sa 23.06.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
> Hallo Bodo!
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> Warum verwendest Du plötzlich den x-Wert [mm]x \ = \ \red{1}[/mm] ?
>
>
> Außerdem kannst du dir die ganze Sache erheblich
> vereinfachen, wenn Du hier die Definition der
> Betragsfunktion anwendest und auch Deine Funktion
> entsprechend umschreibst:
>
> [mm]|x|:=\begin{cases} -x, & \mbox{für } x \ < \ 0 \mbox{ } \\ +x, & \mbox{für } x \ \ge \ 0 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
>
> Damit wird dann:
>
> [mm]f_k:\IR\mapsto\IR, f_k(x)=\begin{cases}\bruch{x^k}{-x}, & \mbox{für } x \ < \ 0 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x \ = \ 0 \mbox{} \\ \bruch{x^k}{+x}, & \mbox{für } x \ > \ 0 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> [mm]f_k:\IR\mapsto\IR, f_k(x)=\begin{cases}-x^{k-1}, & \mbox{für } x \ < \ 0 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x \ = \ 0 \mbox{} \\ +x^{k-1}, & \mbox{für } x \ > \ 0 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
>
> Und nun jeweils den links- und rechtsseitigen Grenzwert
> betrachten.
Hallo
ich hätte doch anstatt der 1 die 0 einsetzen können? oder?
links: [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] -x^(k-1) -> - [mm] \infty
[/mm]
rechts [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] x^(k-1) -> [mm] \infty
[/mm]
So, hoffe mal das stimmt so..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:05 Sa 23.06.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bodo!
Mir ist völlig unklar, was Du da machst. Du musst für die Untersuchung der Stetigkeit an der Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ auch den Grenzwert für [mm] $x\rightarrow 0\uparrow$ [/mm] bzw. [mm] $x\rightarrow 0\downarrow$ [/mm] bestimmen:
linksseitiger Grenzwert: [mm] $\limes_{x\rightarrow 0\uparrow}f_k(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\uparrow}-x^{k-1} [/mm] \ = \ ...$
rechtsseitiger Grenzwert: [mm] $\limes_{x\rightarrow 0\downarrow}f_k(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\downarrow}+x^{k-1} [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:16 Sa 23.06.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
> Hallo Bodo!
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> Mir ist völlig unklar, was du da machst. Du musst für die
> Untersuchung der Stetigkeit an der Stelle [mm]x_0 \ = \ 0[/mm] auch
> den Grenzwert für [mm]x\rightarrow 0\uparrow[/mm] bzw. [mm]x\rightarrow 0\downarrow[/mm]
> bestimmen:
>
> linksseitiger Grenzwert: [mm]\limes_{x\rightarrow 0\uparrow}f_k(x) \ = \ \limes_{x\rightarrow 0\uparrow}-x^{k-1} \ = \ ...[/mm]
rechtsseitiger Grenzwert: [mm]\limes_{x\rightarrow 0\downarrow}f_k(x) \ = \ \limes_{x\rightarrow 0\downarrow}+x^{k-1} \ = \ ...[/mm]
Hallo,
der düfte ja offensichtlich bei Null liegen...
> linksseitiger Grenzwert: [mm]\limes_{x\rightarrow 0\uparrow}f_k(x) \ = \ \limes_{x\rightarrow 0\uparrow}-x^{k-1} \ = -0^{k-1} = 0 [/mm]
rechtsseitiger Grenzwert: [mm]\limes_{x\rightarrow 0\downarrow}f_k(x) \ = \ \limes_{x\rightarrow 0\downarrow}+x^{k-1} \ = 0^{k-1} = 0 \ [/mm]
Damit stimmen die beiden Funktionswerte vom links und rechtsseitgen Grenzwert überein
Es muss doch Stetigkeit bestehen, damit die Funktion differenzierbar ist, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:24 Sa 23.06.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bodo!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Deine beiden Grenzwerte und der Funktionswert [mm] $f_k(0)$ [/mm] stimmen überein. Damit liegt an der Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ auch (für alle [mm] $k\in\IN_0$ [/mm] ) Stetigkeit vor.
Das ist eine Voraussetzung für die Differenzierbarkeit. Nun also die beiden Grenzwerte für den Differenzenquotienten [mm] $\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(0\pm h)-f(0)}{h}$ [/mm] untersuchen.
Hier steht dann evtl. eine Fallunterscheidung für $k_$ an ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:50 Sa 23.06.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
Ok, worin liegt denn der Unterschied zwischen
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{f(x) - f(x_0)}{x_0 - x}
[/mm]
und [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{f(x + h) - f(x)}{h}
[/mm]
weil wir haben einmal mit dem oberen und auch schon mit dem unteren gearbeitet!
Oder ist das evtl. dasselbe?
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{f(x + h) - f(x)}{h}
[/mm]
Muss ich da jetzt die Grenzwerte einsetzen? Also x durch 0 ersetzt, oder
muss ich [mm] -x^{k-1} [/mm] , und [mm] x^{k-1} [/mm] für x einsetzen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:55 Sa 23.06.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
Also, ich habs jetzt wie folgt gemacht
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}
[/mm]
= [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{f(x^{k-1}) - f(0)}{x^{k-1} - 0} [/mm] = 1
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}
[/mm]
= [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{f(-x^{k-1}) - f(0)}{-x^{k-1} - 0} [/mm] = 1 für gerade/ungerade k ...
???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:14 Sa 23.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo bodo
> Also, ich habs jetzt wie folgt gemacht
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{f(x^{k-1}) - f(0)}{x^{k-1} - 0}[/mm]
> = 1
f(x) ist doch nicht [mm] f(x^{k-1}) [/mm] sondern einfach [mm] x^{k-1} [/mm] für x>0
Im Nenner sthet immer [mm] x-x_0 [/mm] oder wie du da auf [mm] x^{k-1} [/mm] kommst versteh ich nicht!
sieh dir doch noch mal an, was der DifferenzenQuotient beschreibt. Mal ne beliebige Kurve, darauf 2 Pkte, x und [mm] x_0 [/mm] dann die gerade Verbindung der Punkt- genannt Sekante! die Steigung dieser Sekante berechnest du aus :
[mm] \bruch{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}
[/mm]
dabei kann man auch [mm] x=x_0+h [/mm] schreiben und hat dann die andere Schreibweise.
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{f(-x^{k-1}) - f(0)}{-x^{k-1} - 0}[/mm]
> = 1 für gerade/ungerade k ...
falsch!
also bitte nochmal! pass auf, es ist nicht für alle k derselbe GW!
für die meisten sollte er 0 sein!
Warum hast du dir die Ableitungen für f(x), die dir Loddar ja für x<0 und x>0 aufgeschrieben hat nicht angesehen?
lies doch die posts gründlicher, wir nehmen uns auch Zeit sie zu schreiben, und ca 5 mal soviel Zeit sollte man investieren sie gründlich zu lesen, evt. Nachfragen stellen.
Deine Fragen sind öfter völlig ohne Bezug auf die vorigen posts.
Versuch ausserdem nicht so blindlings einfach rumzurechnen, sondern zeichne ne Fkt auch mal auf, überleg noch mal, was das bedeutet, was du da rechnest! (siehe oben Sekantensteigung. usw)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Sa 23.06.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
also muss das ganze denn so ausschauen?
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{f(\bruch{x^k}{|x|}) - f(0)}{\bruch{x^k}{|x|} -0}
[/mm]
oder muss ich da f´(x) einsetzen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:27 Sa 23.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
bitte lies noch mal mein post, was hab ich von Zähler und Nenner gesagt?
was soll bitte [mm] f(x^k/|x|) [/mm] sein?
hast du das für ein k>2 skizziert, und die Sekante gezeichnet?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Sa 23.06.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
Ich habs mir mal aufgemalt...
So, ich weiß aber trotzdem nicht was du bzw. ihr von mir wollt, ich hab doch gefragt,
ob ich die Ableitung von der Ursprungsfunktion f(x) = [mm] \bruch{x^k}{|x|} [/mm] in den Differenzenquotienten einsetzen soll oder nicht...
f(x) = [mm] x^{k-1} [/mm] -> f´(x) = [mm] (k-1)*x^{k-2} [/mm] für x > 0
und f(x) = [mm] -x^{k-1} [/mm] -> f´(x) = [mm] -(k-1)*x^{k-2} [/mm] für x < 0
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{f(x+h) - f(x)}{h} [/mm] ... so und wo muss ich denn jetzt was einsetzen, dass ist schon die ganze Zeit meine Frage...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:46 So 24.06.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
Gibt es denn keinen, der mir ein wenig weiter helfen kann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:15 So 24.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
mehrere Leute haben sich hier angestrengt, dir zu helfen!
du gehst auf keinen der posts ein, kein danke oder Bitte oder Begrüßung oder sonst was, was zur netten Kommunikation gehört.
Und dann quengelst du rum, wieder ohne jedes nette Wort, ob dir jemand hilft.
Überleg mal, wie du auf sowas reagieren würdest, wenn du für andere deine freizeit opferst?!
der GW der Steigung der Sekante ist die Steigung der Tangente.
also musst du für f(x) in die Sekantensteigung natürlich deine Funktion einsetzen.
dass du die Ableitung an allen Stellen ausser bei 0 schon für x<0 und x>0 kennst macht den GW leichter!
also kannst du für x von links gegen 0 die Ableitung einsetzen, wenn sie dann existiert!
oder du kannst den GW allgemein bestimmen, indem du die fkt einsetzt.
Wenn du jetzt noch Fragen hast bemüh dich bitte um ne nette äußere Form und exakte Fragen, die auf die vielen vergangenen posts auch eingehen.
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:46 So 24.06.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
GUTEN TAG,
wenn ich wüsste, was ihr mir sagen wollt, würde das sicherlich auch etwas schneller gehn...
und ích denke, ich muss nicht in jedem Post Gott und die Welt grüßen, vielleicht hab ich es ja einmal vergessen, sorry...
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