Stetige Abbildungen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man zeige:
1. Jede stetige Funktion f:[a,b] [mm] \to [/mm] [a,b] [mm] (a,b\in \IR [/mm] mit a < b) besitzt einen Fixpunkt, das heißt, es exisitiert ein [mm] x_0 \in [/mm] [a,b] mit [mm] f(x_0) [/mm] = [mm] x_0
[/mm]
2. Es gibt keine stetige Abbildung f:[-1,1] [mm] \to [/mm] [-1,1] mit f(f(x))=-x für alle [mm] x\in [/mm] [-1,1].
3. Man gebe eine Abbildung f:[-1,1] [mm] \to [/mm] [-1,1] an mit f(f(x)) =-x für alle [mm] x\in [/mm] [-1,1]. ( Tipp: Zwichenwertsatz) |
1. Wir betrachten die Funktion g:[a,b] [mm] \to [/mm] [a,b], g(x)=f(x)-x.
g ist ebenfalls stetig und wegen f(a), f(b) [mm] \in [/mm] [a,b] gilt: [mm] g(a)\ge [/mm] 0 und [mm] g(b)\le [/mm] 0. g hat also eine Nullstelle, diese ist ein Fixpunkt von f.
Aufgabe so schon gelösst ???
2. + 3. kann mir bitte jemand bitte einen Tipp geben, ich komm grad einfach nicht weiter.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:02 Mi 01.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Man zeige:
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> 1. Jede stetige Funktion f:[a,b] [mm]\to[/mm] [a,b] [mm](a,b\in \IR[/mm] mit
> a < b) besitzt einen Fixpunkt, das heißt, es exisitiert
> ein [mm]x_0 \in[/mm] [a,b] mit [mm]f(x_0)[/mm] = [mm]x_0[/mm]
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> 2. Es gibt keine stetige Abbildung f:[-1,1] [mm]\to[/mm] [-1,1] mit
> f(f(x))=-x für alle [mm]x\in[/mm] [-1,1].
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> 3. Man gebe eine Abbildung f:[-1,1] [mm]\to[/mm] [-1,1] an mit
> f(f(x)) =-x für alle [mm]x\in[/mm] [-1,1]. ( Tipp:
> Zwichenwertsatz)
> 1. Wir betrachten die Funktion g:[a,b] [mm]\to[/mm] [a,b],
> g(x)=f(x)-x.
> g ist ebenfalls stetig und wegen f(a), f(b) [mm]\in[/mm] [a,b]
> gilt: [mm]g(a)\ge[/mm] 0 und [mm]g(b)\le[/mm] 0. g hat also eine Nullstelle,
> diese ist ein Fixpunkt von f.
>
> Aufgabe so schon gelösst ???
Ja
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> 2. + 3. kann mir bitte jemand bitte einen Tipp geben, ich
> komm grad einfach nicht weiter.
Die Lösung von 1. hast Du ja ganz prima und professionell hingekriegt. Stammt die wirklich von Dir ? Wenn ja, so müßtest Du 2. und3. genauso locker hinbekommen.
FRED
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Hallo, ich habe mir auch mal diese Frage angeschaut und probiert zu lösen. Allerdings komme ich dabei auf keinen grünen Zweig. Es wäre nett wenn jemand doch noch einen Tipp posten könnte.
Gruß
Joghurt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:26 Do 02.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Wir nehmen an, es gäbe eine stetige Funktion f: I [mm] \to [/mm] I mit f(f(x))=-x für alle x [mm] \in [/mm] I
(I=[-1,1])
Nach dem 1. Teil der Aufgabe hat f einen Fixpunkt [mm] x_0 \in [/mm] I. Dann gilt:
[mm] $-x_0=f(f(x_0))=f(x_0)=x_0,$
[/mm]
also ist [mm] x_0 [/mm] =0 und f(0)=0
Ist [mm] x_1 [/mm] eine weitere Nullstelle von f, so ist [mm] $-x_1= f(f(x_1)=f(0)=0.
[/mm]
Somit hat f in I genau eine Nullstelle, nämlich in 0.
Da f stetig ist, gilt somit:
I) f>0 auf [-1,0) und f<0 auf (0,1]
oder
II) f<0 auf [-1,0) und f>0 auf (0,1]
Wir zeigen, dass I) nicht gelten kann (genauso zeigt man, dass II) nicht gilt) , und haben damit einen Widerspruch.
Ist x [mm] \in [/mm] [-1,0), so ist y:=f(x) [mm] \in [/mm] (0,1], also f(y) <0.
Dann: -x=f(f(x))=f(y)<0, also x>0. Widerspruch !
FRED
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Vielen Dank für die Bemühungen. Jetzt habe ich endlich mal verstanden wie man so etwas macht!
Gruß
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zu 3. Ansatz:
zunächst einmal: [mm] f(x)=\begin{cases} -1\le x< -0,5\\ -0,5 \le x < 0 \\ 0 < x \le 0,5 \\ 0,5< x \le 1 \\ x=0 \end{cases} [/mm] Ich bin der Meinung, dass die Abbildung einen Steigungwinkel von -1 hat bzw. in den Wertebereichen sich bewegen muss. Da 0 ein Fixpunkt ist, muss sie durch 0 gehen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:42 Do 02.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> zu 3. Ansatz:
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> zunächst einmal: [mm]f(x)=\begin{cases} -1\le x< -0,5\\ -0,5 \le x < 0 \\ 0 < x \le 0,5 \\ 0,5< x \le 1 \\ x=0 \end{cases}[/mm]
Was soll denn das sein. Eine Abb. ist das nicht. Du hast nur Intervalle angegeben. Wie f def. ist, aber nicht
FRED
> Ich bin der Meinung, dass die Abbildung einen
> Steigungwinkel von -1 hat bzw. in den Wertebereichen sich
> bewegen muss. Da 0 ein Fixpunkt ist, muss sie durch 0
> gehen.
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