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Hallo ich habe eine Frage bwzüglich stetigen Abbildungen mit "nicht Zusammenhängenden" Definitionsbereichen.
Und zwar versuche ich gerade herauszubekommen, ob es i.A. möglich ist eine Stetige Abbildung auf einem "nicht zusammenhängenden" definitionsbereich zu definieren?
Wenn man sich z.B. die Ebene anschaut in Form von [mm] \IR^2. [/mm] Und [mm] \IR^2 [/mm] in der "Mitte" also der x-Achse aufschneidet, so hat man doch eine nicht zusammenhängende Menge, nämlich:
[mm] U:=\{ (x,y):y>0 \} \cup \{(x,y):y<0 \}
[/mm]
Kann ich eine Funktion [mm] f:U->\IR [/mm] definieren, die in jedem Punkt von U stetig ist?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:46 Fr 29.10.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo ich habe eine Frage bwzüglich stetigen Abbildungen
> mit "nicht Zusammenhängenden" Definitionsbereichen.
>
> Und zwar versuche ich gerade herauszubekommen, ob es i.A.
> möglich ist eine Stetige Abbildung auf einem "nicht
> zusammenhängenden" definitionsbereich zu definieren?
>
> Wenn man sich z.B. die Ebene anschaut in Form von [mm]\IR^2.[/mm]
> Und [mm]\IR^2[/mm] in der "Mitte" also der x-Achse aufschneidet, so
> hat man doch eine nicht zusammenhängende Menge, nämlich:
> [mm]U:=\{ (x,y):y>0 \} \cup \{(x,y):y<0 \}[/mm]
>
> Kann ich eine Funktion [mm]f:U->\IR[/mm] definieren, die in jedem
> Punkt von U stetig ist?
Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich deine Frage richtig verstehe. Ich nenne dir mal zwei Fälle.
1. Ist [mm] $g:\IR^2\to\IR$ [/mm] auf [mm] $\IR^2$ [/mm] stetig, so ist die Einschränkung von g auf U, $f:= [mm] g\bigr|_U$ [/mm] in jedem Punkt von U stetig.
2. Sind [mm] $f_1:\{ (x,y):y>0 \}\to \IR$ [/mm] und [mm] $f_2:\{(x,y):y<0 \}\to \IR$ [/mm] stetig, so ist die Funktion
[mm] f(x,y) := \begin{cases} f_1(x,y), & y>0 \\ f_2(x,y), & y<0 \end{cases} [/mm]
auf U definiert und stetig.
Viele Grüße
Rainer
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Ja natürlich du hast recht. Jetzt ist mir das klar. Was ich eigentlich untersuchen möchte ist folgender Fall:
gegeben sei eine 1-form [mm] w=\bruch{-ydx+xdy}{x^2+y^2}
[/mm]
Gesucht ist eine diffbare Funktion f, s.d. gilt: [mm] \bruch{df}{dx}=\bruch{-y}{x^2+y^2}.
[/mm]
Und analog [mm] \bruch{df}{dy}=bruch{x}{x^2+y^2}.
[/mm]
Nun ja, wenn wir nur die negative hälfte der x-Achse weglassen, dann gibt es so eine Funktion definiert als integral über:
f(x)= [mm] \integral_{\gamma}^{}{w }, [/mm] wobei [mm] \gamma [/mm] irgendein Pfad von irgendein fixierten Punkt [mm] P_0 [/mm] nach x ist.
Nun gibt es aber keine Verbindung zwischen beiden Teilstücken von U.
Kann es dennoch solch eine Funktion geben?
Nun denke ich mittlerweile schon, ich müsste nur zeigen, dass f vom "Basispunkt" unabhängig ist oder? aber das sehe ich irgendwie nicht!
Hast du eine Idee, wie man das zeigen könnte, oder gerade das gegenteil, dass f davon abhängt?
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:19 Fr 29.10.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ja natürlich du hast recht. Jetzt ist mir das klar. Was
> ich eigentlich untersuchen möchte ist folgender Fall:
> gegeben sei eine 1-form [mm]w=\bruch{-ydx+xdy}{x^2+y^2}[/mm]
>
> Gesucht ist eine diffbare Funktion f, s.d. gilt:
> [mm]\bruch{df}{dx}=\bruch{-y}{x^2+y^2}.[/mm]
> Und analog [mm]\bruch{df}{dy}=\bruch{x}{x^2+y^2}.[/mm]
>
> Nun ja, wenn wir nur die negative hälfte der x-Achse
> weglassen, dann gibt es so eine Funktion definiert als
> integral über:
> f(x)= [mm]\integral_{\gamma}^{}{w },[/mm] wobei [mm]\gamma[/mm] irgendein
> Pfad von irgendein fixierten Punkt [mm]P_0[/mm] nach x ist.
>
> Nun gibt es aber keine Verbindung zwischen beiden
> Teilstücken von U.
> Kann es dennoch solch eine Funktion geben?
Wenn du nur die negative reelle Achse (nicht die ganze reelle Achse) weglässt, dann bleibt eine einfach zusammenhängende Menge, und es gibt immer einen Weg von [mm] $P_0$ [/mm] nach x.
Viele Grüße
Rainer
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Ich glaube ich habe eine Lösung gefunden :)
Vielen Dank!
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