Stetige Abbildung < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | In welchem der folgenden Punkte ist die Abbildung f des Raumes in sich mit f(x)=x-1 stetig?
a.) 0
b.) 1
c.) 2 |
Hallo,
bin gerade am verzweifeln...
da die Aufgabe in den Aufgabenbereich Umgebungen fällt, soll man hier wohl mit Umgebungen arbeiten. Folgendes hab ich mal gemacht:
f(x)=x-1
x=0: f(0)=1
Umgebung von f(0) ist V=(0,5;1,5)
[mm] f^-1((0,5;1,5))=\{x\in R|f(x)\in(0,5,1,5)\}=(1,5;2,5)
[/mm]
x=1: f(1)=0
Umgebung von f(1)=1 ist V=(-0,5;0,5)
[mm] f^-1((-0,5;0,5))=\{x\in R|f(x)\in(-0,5,0,5)\}=(0,5;1,5)
[/mm]
x=2: f(2)=1
Umgebung von f(2)=1 ist V=(-1,5;-0,5)
[mm] f^-1((-1,5;-0,5))=\{x\in R|f(x)\in(-1,5,-0,5)\}=(-0,5;0,5)
[/mm]
somit wäre die Abbildung f in allen 3 Punkten stetig. Stimmt das?
Danke
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:28 Di 25.10.2011 | | Autor: | meili |
Hallo,
> In welchem der folgenden Punkte ist die Abbildung f des
> Raumes in sich mit f(x)=x-1 stetig?
> a.) 0
> b.) 1
> c.) 2
Um die Aufgabe lösen zu können, muss man wissen, um welchen Raum,
mit welcher Topologie, es sich handelt.
> Hallo,
> bin gerade am verzweifeln...
> da die Aufgabe in den Aufgabenbereich Umgebungen fällt,
> soll man hier wohl mit Umgebungen arbeiten. Folgendes hab
> ich mal gemacht:
> f(x)=x-1
> x=0: f(0)=1
> Umgebung von f(0) ist V=(0,5;1,5)
> [mm]f^-1((0,5;1,5))=\{x\in R|f(x)\in(0,5,1,5)\}=(1,5;2,5)[/mm]
>
>
> x=1: f(1)=0
> Umgebung von f(1)=1 ist V=(-0,5;0,5)
> [mm]f^-1((-0,5;0,5))=\{x\in R|f(x)\in(-0,5,0,5)\}=(0,5;1,5)[/mm]
>
> x=2: f(2)=1
> Umgebung von f(2)=1 ist V=(-1,5;-0,5)
> [mm]f^-1((-1,5;-0,5))=\{x\in R|f(x)\in(-1,5,-0,5)\}=(-0,5;0,5)[/mm]
>
> somit wäre die Abbildung f in allen 3 Punkten stetig.
> Stimmt das?
> Danke
>
>
>
Gruß
meili
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| Aufgabe | | Eine Teilmenge O von |R heiße offen, wenn [mm] O\{0} [/mm] in der natürlichen Topologie von |R offen ist. (In einer früheren Aufgabe wurde gezeigt, dass dies eine Topologie auf |R definiert.) |
Kannst du mir noch helfen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:02 Di 25.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Eine Teilmenge O von |R heiße offen, wenn [mm]O\{0}[/mm]
es ist [mm]O\setminus \{0\}[/mm] gemeint !
> in der
> natürlichen Topologie von |R offen ist. (In einer
> früheren Aufgabe wurde gezeigt, dass dies eine Topologie
> auf |R definiert.)
> Kannst du mir noch helfen?
Stetigkeit in [mm] x_0 [/mm] bedeutet:
Für jede Umgebung V von [mm] f(x_0) [/mm] ist [mm] f^{-1}(V) [/mm] eine Umgebung von [mm] x_0.
[/mm]
Oben hast Du immer nur eine ganz spezielle Umgebung betrachtet !
FRED
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