Stetig,wenn f(b)=g(b) < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei f:[a,b] [mm] \to \IR [/mm] eine stetige Funktion. Zeigen Sie, dass die Funktion. Zeigen Sie, dass die Funktion
h:[a,c] [mm] \to \IR
[/mm]
[mm] x\mapsto \begin{cases} f(x), & \mbox{wenn } x\in \mbox{ [a,b] } \\ g(x), & \mbox{wenn } x\in \mbox{ (b,c]} \end{cases}
[/mm]
in Punkt b genau dann stetig ist, wenn f(b)=g(b). |
Hallo zusammen,
habe mich mal wieder an einer Aufgabe probiert und brauche etwas Hilfe.
Bisher habe ich mir überlegt:
Nach einem Satz aus der Vorlesung gilt ja:
Folge [mm] a_n [/mm] konvergiert gegen [mm] x_0
[/mm]
f stetig in [mm] x_0 \gdw \limes_{n\rightarrow\infty} f(a_n)=f(x_0)
[/mm]
Also:
h(b)=f(b) [mm] b\in [/mm] [a,b]
Wähle gegen b konvergente Folge [mm] (b_n)_n_\in_\IN [/mm] sodass [mm] b_n \in [/mm] (b,c]
[mm] h(b_n)=g(b) [/mm] nach Vor.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} h(b_n)=\limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] g(b)=g(b)=f(b)=h(b)
Habe ich das bisher richtig geschlussfolgert oder darf man das nicht machen. Wenn es richtig wäre, weiß ich nicht wie ich die Rückrichtung beweisen soll??
Über Hilfe wäre ich sehr dankbar.
Beste Grüße
Neuling88
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:45 Do 25.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Es sei f:[a,b] [mm]\to \IR[/mm] eine stetige Funktion. Zeigen Sie,
> dass die Funktion. Zeigen Sie, dass die Funktion
> h:[a,c] [mm]\to \IR[/mm]
> [mm]x\mapsto \begin{cases} f(x), & \mbox{wenn } x\in \mbox{ [a,b] } \\ g(x), & \mbox{wenn } x\in \mbox{ (b,c]} \end{cases}[/mm]
>
> in Punkt b genau dann stetig ist, wenn f(b)=g(b).
Hier fehlt g: [b,c] [mm] \to \IR [/mm] stetig
>
> Hallo zusammen,
>
> habe mich mal wieder an einer Aufgabe probiert und brauche
> etwas Hilfe.
>
> Bisher habe ich mir überlegt:
> Nach einem Satz aus der Vorlesung gilt ja:
> Folge [mm]a_n[/mm] konvergiert gegen [mm]x_0[/mm]
> f stetig in [mm]x_0 \gdw \limes_{n\rightarrow\infty} f(a_n)=f(x_0)[/mm]
Diesen Satz hast Du aber schlimm mißbraucht !
>
>
> Also:
> h(b)=f(b) [mm]b\in[/mm] [a,b]
????
>
> Wähle gegen b konvergente Folge [mm](b_n)_n_\in_\IN[/mm] sodass [mm]b_n \in[/mm]
> (b,c]
Das ist wirr und konfus !
>
> [mm]h(b_n)=g(b)[/mm] nach Vor.
Wieso das ? Die Stetigkeit von h in b solst Du doch zeigen !
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} h(b_n)=\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm]
> g(b)=g(b)=f(b)=h(b)
Oh Gott !
>
>
> Habe ich das bisher richtig geschlussfolgert
Nein
> oder darf man
> das nicht machen.
Man darf es nicht
> Wenn es richtig wäre, weiß ich nicht
> wie ich die Rückrichtung beweisen soll??
>
> Über Hilfe wäre ich sehr dankbar.
Tipp:
h ist in b stetig [mm] \gdw \limes_{x\rightarrow b-0}h(x)= \limes_{x\rightarrow b+0}h(x)= [/mm] h(b)
FRED
>
> Beste Grüße
> Neuling88
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Hallo Fred,
uiuiui dann hab ich wohl ne Menge Unfug gemacht :-(.
habb versucht wie hier zu beweisen... http://www.matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=113715&ref=http%3A%2F%2Fwww.google.de%2Fsearch%3Fhl%3Dde%26source%3Dhp%26q%3Dnicht%2Bstetig%2BIR%255CIQ%26aq%3Df%26aqi%3D%26aql%3D%26oq%3D%26gs_rfai%3D
das war wohl ein Griff ins Klo...
Also wenn man den rechts- und linksseitigen Grenzwert betrachtet:
[mm] \limes_{x\rightarrow b-0}h(x)= \limes_{x\rightarrow b+0}h(x)=h(b)
[/mm]
Muss also jetzt bewiesen werden, dass es nur stetig ist, wenn h(b)=f(b)=g(b) ist oder? Richtig?
Aber wie kann man das jetzt beweisen?
Danke für dein Hilfe.
Grüße
Neuling88
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Sa 27.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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