Stetig partielle Diffbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:00 Do 29.05.2014 | | Autor: | Calculu |
| Aufgabe | | Sei f: [mm] \IR \to \IR [/mm] stetig und sei g: {(x,y) [mm] \in \IR^{2}; [/mm] y [mm] \not= [/mm] 0} [mm] \to \IR, [/mm] (x,y) [mm] \mapsto \integral_{0}^{\bruch{x}{y}}{f(t) dt}. [/mm] Zeigen Sie, dass g stetig partiell differenzierbar ist und berechnen Sie die partiellen Ableitungen von g. |
Da f stetig, könne wir den Hauptsatz der Differential und Integralrechnung anwenden und somit sind für alle y [mm] \in \IR^{*} [/mm] die Funktion g(*,y): [mm] \IR^{*} \to \IR, [/mm] t [mm] \mapsto \integral_{0}^{\bruch{t}{y}}{f(s) ds} [/mm] und für alle x [mm] \in \IR [/mm] die Funktion g(x,*): [mm] \IR \to \IR, [/mm] t [mm] \mapsto \integral_{0}^{\bruch{x}{t}}{f(s) ds} [/mm] auf ganz [mm] \IR [/mm] diffbar mit folgenden Ableitungen: [mm] \bruch{dg(*,y)}{dt}= \bruch{1}{y}f(\bruch{t}{y}) [/mm] und [mm] \bruch{dg(x,*)}{dt}= \bruch{-x^{2}}{t^{2}}f(\bruch{x}{t}). [/mm] Dies heißt also, dass f auf ganz [mm] \IR^{2} [/mm] partiell diffbar ist. Die partiellen Ableitungen lauten: [mm] \bruch{dg(x,y)}{dx}= \bruch{1}{y}f(\bruch{x}{y}) [/mm] und [mm] \bruch{dg(x,y)}{dy}= \bruch{-x^{2}}{y^{2}}f(\bruch{x}{y}). [/mm] Da die partiellen Ableitungen stetig sind, ist g auf ganz [mm] \IR^{2} [/mm] stetig partiell diffbar.
Ich wäre sehr dankbar wenn jemand über meine Lösung drüber schauen und mögliche Fehler markieren würde.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:18 Fr 30.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei f: [mm]\IR \to \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
stetig und sei g: {(x,y) [mm]\in \IR^{2};[/mm] y
> [mm]\not=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
0} [mm]\to \IR,[/mm] (x,y) [mm]\mapsto \integral_{0}^{\bruch{x}{y}}{f(t) dt}.[/mm]
> Zeigen Sie, dass g stetig partiell differenzierbar ist und
> berechnen Sie die partiellen Ableitungen von g.
> Da f stetig, könne wir den Hauptsatz der Differential und
> Integralrechnung anwenden und somit sind für alle y [mm]\in \IR^{*}[/mm]
> die Funktion g(*,y): [mm]\IR^{*} \to \IR,[/mm] t [mm]\mapsto \integral_{0}^{\bruch{t}{y}}{f(s) ds}[/mm]
> und für alle x [mm]\in \IR[/mm] die Funktion g(x,*): [mm]\IR \to \IR,[/mm]
> t [mm]\mapsto \integral_{0}^{\bruch{x}{t}}{f(s) ds}[/mm] auf ganz
> [mm]\IR[/mm] diffbar mit folgenden Ableitungen: [mm]\bruch{dg(*,y)}{dt}= \bruch{1}{y}f(\bruch{t}{y})[/mm]
> und [mm]\bruch{dg(x,*)}{dt}= \bruch{-x^{2}}{t^{2}}f(\bruch{x}{t}).[/mm]
> Dies heißt also, dass f auf ganz [mm]\IR^{2}[/mm] partiell diffbar
> ist. Die partiellen Ableitungen lauten:
> [mm]\bruch{dg(x,y)}{dx}= \bruch{1}{y}f(\bruch{x}{y})[/mm] und
> [mm]\bruch{dg(x,y)}{dy}= \bruch{-x^{2}}{y^{2}}f(\bruch{x}{y}).[/mm]
> Da die partiellen Ableitungen stetig sind, ist g auf ganz
> [mm]\IR^{2}[/mm] stetig partiell diffbar.
>
> Ich wäre sehr dankbar wenn jemand über meine Lösung
> drüber schauen und mögliche Fehler markieren würde.
Alles richtig
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:17 Fr 30.05.2014 | | Autor: | Calculu |
Herzlichen Dank, Fred!
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