Stetig, partiell Diffbar < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:42 Mo 09.01.2012 | | Autor: | diab91 |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion [mm] f:\IR^{2} \to \IR [/mm] mit
f(x,y) = [mm] \begin{cases} \bruch{e^{x*y}-1}{x} , & \mbox{für } x \not= 0 \mbox{ } \\ y, & \mbox{für } x = 0 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Untersuchen Sie die Funktion auf Stetigkeit und partielle Differenzierbarkeit. |
Guten Abend,
ich komm Mal wieder nicht weiter.Habe folgendes versucht:
Fall 1: Sei x [mm] \not= [/mm] 0. Dann ist f als Komposition stetiger Funktionen stetig.
Desweiteren gilt: [mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] = [mm] \bruch{e^{xy}*(yx-1)+1}{x^{2}} [/mm] und [mm] \bruch{\partial f}{\partial y} [/mm] = [mm] e^{xy}. [/mm]
Fall 2: Sei x = 0. Ich muss nun die Stetigkeit im Punkt (0,y) untersuchen. Mein Ansatz war hier das Folgenkriterium. Sei [mm] (x_{n},y_{n}) [/mm] mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (x_{n},y_{n}) [/mm] = (0,y) gegeben. Einsetzen ergibt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{e^{x_{n}y_{n}-1}}{x_{n}}.
[/mm]
Nun ja und hier habe ich keine Idee wie es weiter gehen könnte. Würde mich über einen Tipp freuen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:26 Di 10.01.2012 | | Autor: | fred97 |
Fall 1: y [mm] \ne [/mm] 0. Dann ex. ein N [mm] \in \IN [/mm] mit: [mm] y_n \ne [/mm] 0 für n>N.
Dann ist [mm] \bruch{e^{x_{n}y_{n}-1}}{x_{n}}= y_n*\bruch{e^{x_{n}y_{n}-1}}{x_{n}*y_n}. [/mm]
Fall 2: y=0. Jetzt bist Du dran.
FRED
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Hi,
> Fall 1: y [mm]\ne[/mm] 0. Dann ex. ein N [mm]\in \IN[/mm] mit: [mm]y_n \ne[/mm] 0 für
> n>N.
>
> Dann ist [mm]\bruch{e^{x_{n}y_{n}} -1 }{x_{n}}= y_n*\bruch{e^{x_{n}y_{n}}-1}{x_{n}*y_n}.[/mm]
Sei [mm] x_n*y_n [/mm] := [mm] k_n
[/mm]
$ [mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{e^{x_{n}y_{n}}-1}{x_{n}*y_n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{e^{k_n}-1}{k_n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{e^{k_n}}{1} [/mm] = [mm] e^0 [/mm] = 1 $ (Also $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}y_n*\bruch{e^{x_{n}y_{n}}-1}{x_{n}\cdot{}y_n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}y_n *\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{e^{x_{n}y_{n}}-1}{x_{n}\cdot{}y_n} [/mm] = 0*1=0 $ )
Hier habe ich von der 2. zur 3. Gleichung l'Hôpital angwandt und nach der Folge [mm] k_n [/mm] abgeleitet.
Kann ich das überhaupt machen, ist das so korrekt?
Falls das Ergebnis stimmt, hätte ich doch damit die Stetigkeit im Punkt [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] gezeigt, oder?
>
> Fall 2: y=0. Jetzt bist Du dran.
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> FRED
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Danke für die Hilfe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Mi 18.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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