Stetig hebbare Funktion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:16 Mi 22.04.2009 | | Autor: | Pille456 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie mit Hilfe von (i) für Welche Werte m,n [mm] \in \IN [/mm] die rationale Funktion [mm] f_{m,n}(x) [/mm] := [mm] \bruch{x^m-1}{x^n-1} [/mm] in x* = 1 stetig ergänzbar ist.
In (i) konnte ich folgendes Beweisen:
[mm] \bruch{x^n-1}{x-1} [/mm] = [mm] x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1 [/mm] |
Hi!
Ich habe mir dazu folgendes gedacht (und dabei (ii) nicht benutzt):
Offensichtlich ist f schonmal stetig ergänzbar wenn n = m gilt, da dann dort die Einsfunktion f(x) = 1 herauskommt.
[mm] \bruch{x^m-1}{x^n-1} [/mm] = [mm] \bruch{(x^{m/2} - 1)*(x^{m/2} + 1)}{x^n-1}, [/mm] also ist f auch für n = m/2 stetig hebbar oder nicht? (Wenn nicht würde ich natürlich gerne Versuchen diesen Ansatz zu retten)
Inwiefern konnte/sollte man hierbei denn nun (ii) nutzen?
Mal so nebenbei gefragt: [mm] \limes_{n\rightarrow\ 1^{+}} [/mm] bedeutet doch, dass ich mich aus dem postiv unendlichen der 1 nähere, also quasi ...5,4,3,2,1.9,1.8... etc
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Hallo Pille,
bei dieser Aufgabe ist nicht gefragt, EINE Kombimation von m und n anzugeben, sondern ALLE, für die die geforderte Aussage gilt, d.h. du musst ALLE Kombinationen finden, bei der z.B. die Polynomdivision aufgeht.
lg Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:48 Mi 22.04.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Pille,
was ist denn (ii)?
> Mal so nebenbei gefragt: [mm]\limes_{n\rightarrow\ 1^{+}}[/mm]
> bedeutet doch, dass ich mich aus dem postiv unendlichen der
> 1 nähere, also quasi ...5,4,3,2,1.9,1.8... etc
Ganz nebenbei geantwortet: jau.
Grüße
rev
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:52 Mi 22.04.2009 | | Autor: | Pille456 |
Hm, wie finde ich denn ALLE Kombinationen?
Das ist ein Schreibfehler, ich meine natürlich (i), die Aufgabe sagt ja auch "mit Hilfe von (i)"
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:29 Mi 22.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Pille!
Zerlege Zähler und Nenner gemäß (i) .
Für welche $n_$ (bzw. $n-1_$) bleibt [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 1$ eine Nullstelle des Nenners bzw. auch des Zählers.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:28 Do 23.04.2009 | | Autor: | Pille456 |
Daran hatte ich auch gedacht, doch es scheiterte an einer Zerlegen des Ausdrucks, sodass ich etwas aus (i) bekomme.
Ich hatte folgende beide Ansätze, die aber beide nicht fruchteten:
[mm] (1)\bruch{x^m-1}{x^n-1} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{x^m-1}{x-1}}{\bruch{x^n-1}{x-1}} [/mm] = [mm] \bruch{\summe_{k=0}^{m-1}x^k}{\summe_{i=0}^{n-1}x^i}
[/mm]
[mm] (2)\bruch{x^m-1}{x^n-1} [/mm] = [mm] \bruch{x^m-1}{(x-1)*x^ {n-1}+n^{n-1}-1}
[/mm]
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Hallo,
nachdem hier nun schon so viel geschrieben wurde, habe ich ja fast Angst, mich zu blamieren, aber irgendwie sehe ich das Problem nicht:
Wir haben die Funktion
$ [mm] f_{m,n}(x) [/mm] $ := $ [mm] \bruch{x^m-1}{x^n-1} [/mm] $,
welche für gerades n an den Stellen [mm] x_1=1 [/mm] und [mm] x_2=-1 [/mm] nicht definiert ist,
für ungerades n haben wir nur eine Definitionslücke bei [mm] x_1=1.
[/mm]
Egal also, was n ist, die Stelle [mm] x_1=1 [/mm] ist eine Definitionslücke, und und genau diese Definitionslücke, um die stetige Ergänzbarkeit an dieser Stelle, geht es doch.
Du hast ja schon aufgeschrieben, daß für [mm] x\not=1
[/mm]
$ [mm] \bruch{x^m-1}{x^n-1} [/mm] $ dasselbe ist wie $ [mm] \bruch{ x^{m-1}+x^{m-2}+...+x+1 }{ x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1} [/mm] $.
Also ist, sofern der GW existiert,
[mm] \limes_{x\rightarrow 1}\bruch{x^m-1}{x^n-1}= \limes_{x\rightarrow 1}\bruch{ x^{m-1}+x^{m-2}+...+x+1 }{ x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1}, [/mm]
und diesen GW kann man doch leicht berechnen, oder?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:57 Do 23.04.2009 | | Autor: | Pille456 |
Das was du schreibst macht Sinn, jedoch habe ich es noch nicht ganz verstanden:
[mm] \limes_{x\rightarrow 1}\bruch{x^m-1}{x^n-1}= \limes_{x\rightarrow 1}\bruch{ x^{m-1}+x^{m-2}+...+x+1 }{ x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1} [/mm] = [mm] \bruch{m*1}{n*1} [/mm] da ich im Nenner und Zähler nun die Eins einsetzen darf.
Sieht irgendwie verblüffend aus, aber scheint richtig zu sein?
Nur was sagt mir das nun?
f ist an x = 1 stetig ergänzbar wenn [mm] \bruch{m}{n} [/mm] gilt, nur für was soll das gelten?
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Hallo Pille,
das heißt, das die Unstetigkeit bei x=1 hebbar ist, wenn [mm] \tfrac{m}{n} [/mm] ein definierter Ausdruck ist. Das ist für alle [mm] m,n\in\IN [/mm] erfüllt.
Zugleich hast Du damit ja auch den Funktionswert bei x=1 bestimmt, der für die Hebung der Unstetigkeit noch nötig ist.
Grüße
rev
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Do 23.04.2009 | | Autor: | Pille456 |
Hm das mit der Stetigkeit habe ich schon verstanden denke ich, aber danke nochmal für die recht einfache Erklärung.
Wohin meine frage eher abzielte war wie ich das nun korrekt angeben, weil da ja steht "...für welche Werte m,n [mm] \in \IN [/mm] die rationale Funtkion..."
Muss ich dann quasi als Antwort sagen: Für alle m,n [mm] \in \IN [/mm] für die gilt: c = [mm] \bruch{m}{n} [/mm] ist ein definierter Ausdruck, wobei c [mm] \in \IR [/mm] bzw. [mm] \IC?
[/mm]
Also z.b. für n = 0 wäre f(m/n) nicht definiert. Für f(5) wäre es wieder definiert, genauso wie f(m/n)? Und demnach dann auch f(1)
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Wieso f(m/n)?
Du hast doch untersucht, wie man die Stetigkeitslücke bei x=1 schließen kann, nämlich mit [mm] f(1)=\tfrac{m}{n}.
[/mm]
n kann doch nicht Null werden, da [mm] 0\not\in\IN [/mm] ist.
Es genügt also eine Funktionsdefinition für alle [mm] m,n\in\IN.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:11 Do 23.04.2009 | | Autor: | Pille456 |
Hm achso nun verstehe ich erst recht was [mm] \bruch{m}{n} [/mm] genau bedeutet. Also ist die Funktion f für alle m,n [mm] \in \IN [/mm] definiert.
Wenn da nun z.B. gestanden hätte
[mm] \limes_{x\rightarrow 1}\bruch{ x^{m-1}+x^{m-2}+...+x+1 }{ x^{n-1}+x^{n-2}+...+x-1} [/mm] = [mm] \bruch{m}{n-1} [/mm] dann wäre die Funktion für alle [mm] \bruch{m}{n-1} [/mm] mit n > 1 definiert.
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> Nur was sagt mir das nun?
> f ist an x = 1 stetig ergänzbar wenn [mm]\bruch{m}{n}[/mm] gilt,
> nur für was soll das gelten?
Hallo,
ich glaube, daß Du nicht verstanden hast, was "stetig ergänzbar" ist.
Mal anschaulich: die Funktionen [mm] f_m_n [/mm] haben an der Stelle x=1 ein Löchlein.
Wenn Du Lust hast, kannst Du eine Funktion g definieren wie folgt
[mm] g_m_n(x):=\begin{cases} f_m_n(x), & \mbox{für } x\not=1 \mbox{ } \\ \bruch{m}{n}, & \mbox{für } x=1 \mbox{ } \end{cases},
[/mm]
und diese Funktion [mm] g_m_n(x) [/mm] wäre an der Stelle x=1 definiert und stetig.
Man kann das Löchlein also stopfen.
Gruß v. Angela
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