Stetig fortsetzen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:09 Fr 22.08.2008 | | Autor: | Smilodon |
| Aufgabe | Es sei die Funktion f durch
[mm]f : \IR^2 \setminus \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \IR, \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\mapsto \bruch{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}[/mm]
definiert. Untersuchen Sie, ob f stetig auf ganz [mm]\IR^2[/mm] fortgesetzt werden kann. |
Hallo,
ich will mich auf eine Ana 2 Klausur vorbereiten und hänge momentan an diesem Aufgabentyp.
Ich habe einfach keine Ahnung mehr, wie man das macht. In meinen Aufzeichnungen habe ich ein wenig gefunden von wegen man nimmt für x und y [mm]\bruch{1}{k}[/mm] Folgen, erst für x, dann für y, dann für beide und arbeitet dann mit dem Limes weiter, aber geholfen hat mir das leider auch nicht.
Ich sehe der Funktion an, dass in (0,0) eine Definitionslücke ist und man nur von der Theorie her von allen Seiten (welche da unendlich viele sind?!) an diesen Punkt rangehen müsste. Aber wie das nun von statten geht, ich bin völlig ratlos.
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Hallo Smilodon,
> Es sei die Funktion f durch
> [mm]f : \IR^2 \setminus \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \IR, \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\mapsto \bruch{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}[/mm]
>
> definiert. Untersuchen Sie, ob f stetig auf ganz [mm]\IR^2[/mm]
> fortgesetzt werden kann.
> Hallo,
>
> ich will mich auf eine Ana 2 Klausur vorbereiten und hänge
> momentan an diesem Aufgabentyp.
> Ich habe einfach keine Ahnung mehr, wie man das macht. In
> meinen Aufzeichnungen habe ich ein wenig gefunden von wegen
> man nimmt für x und y [mm]\bruch{1}{k}[/mm] Folgen, erst für x, dann
> für y, dann für beide und arbeitet dann mit dem Limes
> weiter, aber geholfen hat mir das leider auch nicht.
>
> Ich sehe der Funktion an, dass in (0,0) eine
> Definitionslücke ist und man nur von der Theorie her von
> allen Seiten (welche da unendlich viele sind?!) an diesen
> Punkt rangehen müsste. Aber wie das nun von statten geht,
> ich bin völlig ratlos.
Wenn du mal alles in Polarkoordinaten schreibst, also [mm] $x=r\cdot{}\cos(\phi)$ [/mm] und [mm] $y=r\cdot{}\sin(\phi)$ [/mm] schreibst, wobei r die Länge des Vektors (x,y) ist und [mm] \phi [/mm] der Winkel, den (x,y) mit der x-Achse einschließt, so siehst du dass der [mm] $\lim\limits_{r \downarrow 0} f(r,\phi)$ [/mm] nicht unabhängig vom Winkel [mm] $\phi$ [/mm] ist, bzw. nicht existiert.
Damit steht die Idee, zu widerlegen, dass f in (0,0) stetig fortsetzbar ist, und man kann sich gem. dem Folgenkriterium der Stetigkeit auf die Suche nach zwei möglichst einfachen Folgen [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] und [mm] $(b_n)_{n\in\IN}$ [/mm] machen mit [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}b_n=(0,0)$, [/mm] aber [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}f(a_n)\neq\lim\limits_{n\to\infty}f(b_n)$
[/mm]
Hier tun es zwei sehr einfache und nur leicht unterschiedliche Folgen ..
Nimm als [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] mal [mm] $\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)_{n\in\IN}$
[/mm]
Die strebt für [mm] $n\to\infty$ [/mm] sicherlich gegen $(0,0)$, wogegen strebt [mm] $f(a_n)$?
[/mm]
Dann bastel dir dazu eine passende Folge [mm] $(b_n)_{n\in\IN}$, [/mm] die alles kaputtmacht 
Probier's mal ...
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LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Fr 22.08.2008 | | Autor: | Smilodon |
Ok, ich habe das alles mal durchgerechnet und es erscheint Sinn zu ergeben :)
[mm]f(x, y) \mbox{ mit } x = r * \cos \phi \mbox{ und } y = r * \sin \phi \Rightarrow \bruch{(r * \cos \phi)^2 - (r * \sin \phi)^2 }{(r * \cos \phi)^2 + (r * \sin \phi)^2} = \bruch{r^2 * \cos^2 \phi - r^2 * \sin^2 \phi }{r^2 * \cos^2 \phi + r^2 * \sin^2 \phi} = \bruch{r^2 * (\cos^2 \phi - \sin^2 \phi) }{r^2 * (\cos^2 \phi + \sin^2 \phi)} = \cos^2 \phi - \sin^2 \phi[/mm]
[mm]\limes_{r\rightarrow 0} f(r, \phi) = \limes_{r\rightarrow 0} \cos^2 \phi - \sin^2 \phi = \cos^2 \phi - \sin^2 \phi[/mm]
Hier ist also die Unabhängigkeit vom Winkel.
[mm]\limes_{n\rightarrow \infty} f(a_n) = \limes_{n\rightarrow \infty} \bruch {\left( \bruch{1}{n} \right)^2 - \left( \bruch{1}{n} \right)^2}{\left( \bruch{1}{n} \right)^2 + \left( \bruch{1}{n} \right)^2 } = \limes_{n\rightarrow \infty} \bruch { \bruch{1}{n^2} - \bruch{1}{n^2} }{\bruch{1}{n^2} + \bruch{1}{n^2} } = \limes_{n\rightarrow \infty} \bruch{0}{\bruch{2}{n^2} } = 0[/mm]
Wenn ich für [mm]b_n = \left( \bruch{1}{n}, \bruch{2}{n} \right)[/mm] nehme komme ich zu folgendem:
[mm]\limes_{n\rightarrow \infty} f(a_n) = \limes_{n\rightarrow \infty} \bruch {\left( \bruch{1}{n} \right)^2 - \left( \bruch{2}{n} \right)^2}{\left( \bruch{1}{n} \right)^2 + \left( \bruch{2}{n} \right)^2 } = \limes_{n\rightarrow \infty} \bruch { \bruch{1}{n^2} - \bruch{4}{n^2} }{\bruch{1}{n^2} + \bruch{4}{n^2} } = \limes_{n\rightarrow \infty} \bruch{ \bruch{-3}{n^2} }{ \bruch{5}{n^2} } = \limes_{n\rightarrow \infty} \bruch{-3 * n^2}{5 * n^2} = -\bruch{3}{5} [/mm]
Da [mm]\limes_{n\rightarrow \infty} f(a_n)\not= \limes_{n\rightarrow \infty} f(b_n)[/mm] ist f nicht stetig fortsetzbar im [mm]\IR^2[/mm].
Stimmt das so?
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Hallo nochmal,
> Ok, ich habe das alles mal durchgerechnet und es erscheint
> Sinn zu ergeben :)
>
> [mm]f(x, y) \mbox{ mit } x = r * \cos \phi \mbox{ und } y = r * \sin \phi \Rightarrow \bruch{(r * \cos \phi)^2 - (r * \sin \phi)^2 }{(r * \cos \phi)^2 + (r * \sin \phi)^2} = \bruch{r^2 * \cos^2 \phi - r^2 * \sin^2 \phi }{r^2 * \cos^2 \phi + r^2 * \sin^2 \phi} = \bruch{r^2 * (\cos^2 \phi - \sin^2 \phi) }{r^2 * (\cos^2 \phi + \sin^2 \phi)} = \cos^2 \phi - \sin^2 \phi[/mm]
>
> [mm]\limes_{r\rightarrow 0} f(r, \phi) = \limes_{r\rightarrow 0} \cos^2 \phi - \sin^2 \phi = \cos^2 \phi - \sin^2 \phi[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Hier ist also die Unabhängigkeit vom Winkel. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Eben genau nicht, das hängt doch vom Winkel ab, und das darf es nicht für Stetigkeit.
Je nach [mm] $\phi$ [/mm] kommt doch hier was anderes heraus.
Unabhängig ist es nur von der Länge r von (x,y)
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow \infty} f(a_n) = \limes_{n\rightarrow \infty} \bruch {\left( \bruch{1}{n} \right)^2 - \left( \bruch{1}{n} \right)^2}{\left( \bruch{1}{n} \right)^2 + \left( \bruch{1}{n} \right)^2 } = \limes_{n\rightarrow \infty} \bruch { \bruch{1}{n^2} - \bruch{1}{n^2} }{\bruch{1}{n^2} + \bruch{1}{n^2} } = \limes_{n\rightarrow \infty} \bruch{0}{\bruch{2}{n^2} } = 0[/mm]
>
> Wenn ich für [mm]b_n = \left( \bruch{1}{n}, \bruch{2}{n} \right)[/mm]
> nehme komme ich zu folgendem:
> [mm]\limes_{n\rightarrow \infty} f(a_n) = \limes_{n\rightarrow \infty} \bruch {\left( \bruch{1}{n} \right)^2 - \left( \bruch{2}{n} \right)^2}{\left( \bruch{1}{n} \right)^2 + \left( \bruch{2}{n} \right)^2 } = \limes_{n\rightarrow \infty} \bruch { \bruch{1}{n^2} - \bruch{4}{n^2} }{\bruch{1}{n^2} + \bruch{4}{n^2} } = \limes_{n\rightarrow \infty} \bruch{ \bruch{-3}{n^2} }{ \bruch{5}{n^2} } = \limes_{n\rightarrow \infty} \bruch{-3 * n^2}{5 * n^2} = -\bruch{3}{5}[/mm]
>
> Da [mm]\limes_{n\rightarrow \infty} f(a_n)\not= \limes_{n\rightarrow \infty} f(b_n)[/mm]
> ist f nicht stetig fortsetzbar im [mm]\IR^2[/mm].
>
> Stimmt das so?
perfekt!
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:33 Fr 22.08.2008 | | Autor: | Smilodon |
Danke,
bei dem abhängig, unabhängig bin ich wohl etwas semantisch verwirrt gewesen.
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