Stellen, an denen f stetig < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:01 Di 25.11.2008 | | Autor: | abakus86 |
| Aufgabe | Wir definieren die Funktion [mm] f:\IR\to\IR [/mm] wie folgt:
[mm] f(x)=\begin{cases} 1/q, & \mbox{falls } x\in\IQ, x=p/q \\ 0, & \mbox{sonst } d.h. x\in\IR-\IQ \end{cases}
[/mm]
Hierbei darf (und soll) angenommen werden, dass sich jede rationale Zahl [mm] (\not=0) [/mm] eindeutig als Bruch x=p/q, [mm] p,q\in\IZ [/mm] teilerfremd, [mm] q\ge1, [/mm] schreibt.
Finde alle stetigen Stellen [mm] x\in\IR, [/mm] an welchen die Funktion f stetig ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Ich tu mich noch sehr schwer mit Beweisen und verstehe diese Aufgabe nicht.
Ich weiß was Stetigkeit ist und welche Vorraussetzungen eine Funktion für einen bestimmten Punkt erfüllen muss, aber wie finde ich alle Punkte, an denen f stetig ist?? Das verstehe ich nicht.
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Finde doch erst einmal einen Punkt, an dem die Funktion stetig ist.
Gelingt es, weißt Du mehr über die Bedingungen, die solche Punkte erfüllen müssen. Dann kannst Du weitere solche Punkte suchen oder zeigen, dass es keine weiteren gibt.
Gelingt es nicht, kannst Du vielleicht zeigen, warum es nicht gelingen kann. Dann wärst Du sogar schon fertig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 Di 25.11.2008 | | Autor: | abakus86 |
z.B. für [mm] x=\bruch{4}{5} [/mm] ist f stetig. Ist f nicht für jedes [mm] x\in\IQ [/mm] stetig?
[mm] |f(\bruch{4}{5})-f(a)|\le\varepsilon, [/mm] falls [mm] |\bruch{4}{5}-a|\le\delta [/mm] für [mm] a\in\IR
[/mm]
Ich verstehs nicht. :-/ Ich kann absolut nichts damit anfangen und weiß nicht wie ich vorgehen soll. Ich kenne die Eigenschaften für Stetigkeit, aber kann nicht damit umgehen.
Kann es mir jemand nochmal Schritt für Schritt erklären?
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Vorab: Du hast da eine der ganz gemeinen Aufgaben, die in der Formulierung schon nicht nach Stetigkeit aussieht, weil die definierten Funktionswerte ja nicht z.B. von der Entfernung [mm] (x-x_0) [/mm] abhängen, sondern von einer bestimmten Eigenschaft von x, nämlich ob [mm] x\in\IQ [/mm] oder [mm] x\not\in\IQ.
[/mm]
> z.B. für [mm]x=\bruch{4}{5}[/mm] ist f stetig. Ist f nicht für jedes
> [mm]x\in\IQ[/mm] stetig?
Hmmmm...
> [mm]|f(\bruch{4}{5})-f(a)|\le\varepsilon,[/mm] falls
> [mm]|\bruch{4}{5}-a|\le\delta[/mm] für [mm]a\in\IR[/mm]
Liest sich gut, stimmt aber nicht.
Nach Definition ist [mm] f{\bruch{4}{5}}=\bruch{1}{5}
[/mm]
Wenn Du Dich nun innerhalb einer [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] näherst, findest Du für die rationalen Werte immer kleinere Funktionswerte - sie nähern sich also der 0 beliebig nahe, aber nicht dem Funktionswert [mm] \bruch{1}{5}. [/mm] Für die irrationalen Werte ist der Funktionswert sowieso 0.
Das kannst Du auch allgemein durchgehen. Bei allen rationalen Werten [mm] x_i [/mm] ist der Grenzwert [mm] \limes_{x\rightarrow\x_i}=0, [/mm] der Funktionswert aber per definitionem [mm] \bruch{1}{q}. [/mm] An allen Stellen mit rationalem [mm] x_i [/mm] ist die Funktion unstetig, außer natürlich einer: der 0. Und genau dort ist kein Funktionswert definiert!
Und wie ist es bei den irrationalen Werten? Denk mal drüber nach. Nimm [mm] \wurzel{2} [/mm] als Beispiel, da ist schon alles zu erkennen. Wenn Du [mm] \pi, \a{}e [/mm] oder [mm] \Phi [/mm] (den goldenen Schnitt) lieber magst, gehen die auch. Nimm halt irgendeine definitiv reelle, aber nicht rationale Zahl.
> Ich verstehs nicht. :-/ Ich kann absolut nichts damit
> anfangen und weiß nicht wie ich vorgehen soll. Ich kenne
> die Eigenschaften für Stetigkeit, aber kann nicht damit
> umgehen.
>
> Kann es mir jemand nochmal Schritt für Schritt erklären?
Das Ergebnis ist jedenfalls einigermaßen abstrus, wenn Du es gefunden hast. Lass Dich davon nicht irritieren, diese Funktion ist alles andere als normal und genau für diesen Zweck konstruiert. Gut konstruiert sogar.
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Hallo!
Bin auch grad am Rechnen der Aufgabe, kann es sein dass dir richtige Antwort ist , dass x an allen stellen mit x [mm] \in \IR [/mm] - [mm] \IQ [/mm] stetig ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:49 Mi 26.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, aber zeigen musst dus schon noch.
Gruss leduart
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Hallo Gemeinde,
kann es sein, dass die Lösung hier falsch ist? Bei der Dirichlet-Funktion, die ja recht ähnlich ist, gibt es scheints keine stetigen Bereiche. Und da die hier gezeigte Funktion ja recht ähnlich ist, sogar noch verschärft, ist doch nicht davon auszugehen, dass man stetige Bereiche finden kann?
hab jetzt mal ein bisschen rumgesucht und irgendwie sind die meinungen wiedersprüchlich. kann jemand einen beweisanfang dafür geben, dass die irrationalen zahlen zusammenhängen sollen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:26 Do 27.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Dirichlet fkt hat doch nur die Werte 0 und 1, waehrend diese hier 0 und 1/q hat, das ist ein riesiger Unterschied. jede reelle Zahl kannst du etwa durch einen Dezimalbruch mit beliebig grossem Nenner [mm] 10^n [/mm] annaehern, da ist der Wert ja dann auch sehr klein, naemlich [mm] 1/10^n
[/mm]
Also ist der Vergleich nicht sehr zutreffend.
und stetiger :Bereich", wenn du hier Intervall=Bereich meinst gibts auch hier nicht nur ueberabzaehlbar viele Punkte, in denen f stetig ist
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:13 Sa 29.11.2008 | | Autor: | ihp |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Kann jemand folgende Teilbeweisidee zum irrationalen Teil der o.g. Aufgabe überprüfen bzw. korrigieren, bitte?
Behauptung: f ist für alle irrationalen x stetig.
Beweisidee:
OBdA reicht es zu zeigen., dass f für alle positiven, irrationalen Zahlen stetig ist, das heißt für alle irrationalen x aus aus der Vereinigung der Intervalle (n-1,n] für alle n aus IN (0 ist diesem Falle keine natürliche Zahl!).
Bew. D. vollst. Induktion:
IA für n=1:
Ang. ich habe gezeigt, dass die Funktion f auf dem Intervall (0,1[ für alle irrationalen Zahlen stetig ist (Der Beweis dafür ist mir gerade etwas zu umständlich aufzuschreiben, folgt aber vielleicht noch innerhalb der nächsten Tage...)
IB:
f ist stetig für alle x aus der Vereinigung der Intervalle (n-1,n] für alle n aus IN.
IS für n-->n+1:
Nach IB ist f stetig für alle x aus der Vereinigung der Intervalle (n-1,n] für alle n aus IN.
Daraus folgt: f ist auch stetig für alle x aus der Vereinigung der Intervalle (n-1,n] für alle n>1 aus IN, also für alle x aus der Vereinigung der Intervalle (n,n+1] für alle n aus IN.
q.e.d.?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Mo 01.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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